Metallische Bindung als Kastenpotential

Reynauld · Gast

Meine Frage:
Guten Tag,
ich möchte eine metallische Bindung als 1-dimensionales Problem betrachten. Dazu mache ich die Annahme, dass ein Atom durch einen 1-dim. Kasten der Länge d dargestellt wird, in dem sich ein einzelnes Elektron befindet (Das stellt das Valenzelektron dar). Im Inneren herrsche ein konstantes Potential. Außerhalb des Atoms, bzw. des Potentialkastens sei das Potential unendlich groß. Um einen Festkörper zu betrachten, bringe ich nun lediglich mehrere dieser Potentialkästen mit Länge d nebeneinander, so dass ich einen großen Kasten für den Festkörper erhalte, welcher die Länge

besitzt, wobei a die Anzahl der Atome des Festkörpers bezeichnet.

Nun will ich erstens die kinetische Energie eines Elektrons in einem einzelnen atom bestimmen und anschließend die der Atome des Festkörpers unter Berücksichtigung des Pauli-Verbotes. Ich will feststellen, ob die kinetische Energie im Vergleich zum Einzelatom abgesenkt wird, also eine Bindung entsteht (metallische Bindung).
Im Anschluss erweitere ich das Problem auf zwei Valenzelektronen.

Meine Ideen:
Zum Einzelatom:
Das ist ja eine "klassische" Teilchen im Potentialtopf Aufgabe, dich ich mit dem Ansatz

und den Randbedingungen

mit

löse, wobei ich im Hamiltonoperator, da mich ja nur die kinetische Energie interessiert, das konstante Potential gleich 0 setze.
Dann erhalte ich als quantisierte kinetische Energien:

nun zum Festkörper mit der Kastenpotentiallänge

Aufgrund des Pauli-Verbotes können ja jeweils nur 2 Elektronen ein Energielevel besitzen (2 unterschiedliche Spins), Wechselwirkung zwischen den Elektronen ignoriere ich. Dann ist für den höchsten noch besetzten Zustand im Festkörper.

da ja a quasifreie Elektronen im Festkörper existieren.

Hier meine erste Frage: Kann ich überhaupt so rechnen? Weil hier gehe ich ja eigentlich davon aus, dass sich die Elektronen so verteilen, dass die Gesamtenergie minimal ist, kann ich das hier so machen?

Dann habe ich die Gesamtenergie der a Elektronen berechnet:

wobei ich genutzt habe, dass

für sehr große a (ist bei festkörper ja gegeben).

Diese Gesamtkinetische Energie aller Elektronen habe ich nun durch ihre Gesamtzahl a geteilt um den Mittelwert zu erhalten und anschließend

genutzt, um die durchschnittliche kinetische Energie eines Elektrons im Festkörper zu erhalten:

So.
Damit wäre ja nun eigentlich gezeigt, dass die kinetische Energie in der Tat absinkt und es somit zu einer Bindung kommt, zumindest, wenn ich für den Festkörper so rechnen darf (siehe Frage oben). Denn da

ja der Grundzustand des einzelnen Atoms ist, ist die kinetische Energie eines Elektrons im Festkörper im Mittel geringer als die im Atom. Nehme ich für d zB 2,6 Angström an, kome ichauf eine Absenkung um 4,14eV, typsiche Bindungsenergien sind im Bereich 2-7eV, also scheint das zu passen.

Wenn ich nun zwei Valenzelektronen pro Atom annehme, muss ich meiner Meinung nach in der Summe statt mit oberer Grenze a/2 mit a rechnen und erhalte als Endergebnis für die mittlere kinetische Energie

Meine weiteren Fragen:

Sind meine Rechnungen korrekt?
Kann ich so vorgehen? Weil theoretisch könnten doch die Elektronen im Festkörper gerade so hoch angeregt sein, dass die durchschnittliche Energie Höher ist, als der Grundzustand im Einzelatom und dann würde es doch unter Umständen zu keiner metallischen Bindung mehr kommen oder? Übersehe ich hier etwas? Falls man mit dieser niedrigstmöglichen Energie im Festkörper rechnen darf: Warum?

Freue mich auf Antworten^^

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Ich kann mir nicht vorstellen, wie du die Potentiale der einzelnen Atomen sowie dem Festkörper als Ganzem zu einem Gesamtpotential kombinierst bzw. welches Potential jetzt ein Elektron sieht. Kannst du mal eine Skizze machen?

Reynauld · Gast

@TomS Eigentlich ganz einfach. In meiner Annahme ist ein Atom ein 1-dimensionaler Potentialtopf, der im Bereich 0 bis d ein konstantes Potential besitzt, das ich 0 setze, da mich nur die kinetische Energie interessiert und außerhalb dieses Bereichs ist das Potential unendlich. Beim Festkörper nehme ich an, dass sich alle Valenzelektronen der einzelnen Atome in einem Potentialtopf der Länge L (siehe meine Fragestellung) befinden, in dem das selbe konstante Potential wie beim Einzelatom Potentialtopf herrscht. Es sind also beides Potentialtöpfe mit Potential 0 im Inneren und Potential unendlich außen, bloß, dass bei der Betrachtung des Festkörpers eben sehr viele (genauer: a Elektronen) im Potentialtopf sind und bei der Betrachtung des Einzelatoms nur ein einzelnes.

Reynauld · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Ich denke nicht, dass dabei was vernünftiges rauskommt.

Dein Modell ohne attraktives, periodisches Potential der Atomrümpfe führt auf ein freies Elektronengas. Damit hast du aber delokalisierte Elektronen, d.h. wenn überhaupt, dann ein Modell für die Leitungselektronen, nicht für die Valenzelektronen.

Wie du nun eine Bindungsenergie ausrechnen willst, ist mir schleierhaft. Deine Elektronen sind innerhalb des Kastens frei. Du kannst anstelle eines Kastens auch einen Kreis der Länge L und damit periodische Randbedingungen annehmen; das führt aufgrund der Quantisierungsbedingung auf selbe Spektrum.

Die Absenkung einer mittleren Energie - ich habe die Rechnung nicht kontrolliert - bedeutet ja nicht unbedingt eine Bindungsenergie.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Die Rechnung sieht auf den ersten Blick richtig aus.

Du setzt a Elektronen in einen Kasten der Länge L = ad. Die Energie eines Zustandes n skaliert mit n^2 / L^2, die Gesamtenergie mit a^3 / L^2 aufgrund der Summe über die n, die mittlere Energie mit a^2 / L^2 = 1 / d^2.

Du vernachlässigst aber die Terme mit a^2 sowie niedrigere Exponenten, d.h. du darfst dein Ergebnis nicht für kleine a und insbs. nicht für a = 1 anwenden.

Reynauld · Gast

@TomS Das Modell ist natürlich ein nicht sehr realitätsnahes, aber es soll einen metallischen Festkörper darstellen, in dem die Valenzelektronen der Atome eine Elektronengas bilden. Das ist einfach die Annahme. Das andere habe ich falsch formuliert. Nicht die Absenkung der kinetischen Energie führt zu der Bindung, aber durch die Bindung im festkörper wird die kinetische Energie der Elektronen gesenkt. So ist es gemeint. Die Betrachtung wird nur für sehr große a durchgeführt, da es ja einen Festkörper mit extrem vielen Atomen simulieren soll, daher sollte das auch kein Problem sein.

Im Übrigen ist die AUfgabe nicht von mir, ich wollte sie nur bearbeiten, also denke ich, dass die Näherung schon in irgendeiner Weise einen Sinn hat xD

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18071

Dass die Valenzelektronen ein Elektronengas bilden sollen, ist seltsam. Aber gut.