Wände des 1D Kastenpotential werden weggegeben

wandbasilisk · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 18

Meine Frage:
Ich habe eine frage zu folgender aufgabe:
Zur zeit t=0 befindet sich ein freies teilchen im grundzustand des 1D kastenpotential der breite a.
Die Wände werden dann abrupt weggegeben.
Finde die impuls-wellenfunktion

zur zeit t=0.
Finde die wellenfunktion

. Sie können das Ergebnis als unausgewertetes integral von

stehen lassen.

Meine Ideen:
So mein lösungsvorschlag wäre folgender:
Die Wellenfunktion zur zeit t=0 im grundzustand ist:

Die fouriertransformation davon ergibt

das ergebnis davon ist leicht zu berechnen, das war nicht die schwierigkeit.

so nun werden die wände weggegeben und jetzt bin ich mir nicht mehr ganz sicher. ich soll ja das ergebnis als unausgewertetes integral von

darstellen.

ich hab als erstes die zeitabhängigkeit (

mit

aus dem grundzustand) eingeführt.
das unausgewertete integral, was auch meine lösung von aufgabe b wäre, ist bei mir folgende inverse fouriertransformation:

kann das so stimmen?
mir ist physikalisch nicht ganz klar was hier passiert. das teilchen befindet sich vorher in einem eigenzustand. sobald die wände weggegeben werden, liegt ein freies teilchen vor. es ist dementsprechend nicht mehr gebunden und kann sich frei bewegen. da die wände so schnell weggegeben wurden, ändert sich die wellenfunktion und die energie des teilchens im ersten moment nicht. ein freies teilchen muss ich mithilfe eines wellenpaketes darstellen, was genau dem letzten integral entspricht.

ich kenne den fall, dass die wände schlagartig auf die doppelte breite gesetzt werden. die wellenfunktion des teilchens ändert sich im ersten moment nicht und das teilchen befindet sich in einer superposition der neuen eigenzustände.
aber was passiert hier? was passiert mit der energie des teilchens und seiner wellenfunktion über die zeit gesehen?

vielen dank für eure hilfe
lg

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

wandbasilisk · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 18

vielen dank schonmal.
die sache mit E, die du erwähnt hast, ist mir nicht ganz klar.
das teilchen hat ja, bevor die wände weggegeben werden, die energie

.
nachdem die wände weggegeben werden, bleibt die energie unverändert. das heißt das E in meinem inversen fourierintegral zum schluss müsste doch eben diese energie E sein.
was meinst du genau mit, man müsste wohl noch E=p^2/m (sollte dies nicht p^2/(2m) heißen?) verwenden?

lg

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

wandbasilisk · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 18

Vielen Dank für die hilfreichen Links.

Wenn ich deine links richtig auffasse, sollte ich im letzten Integral das E im Exponenten durch ein p^2/(2m) ersetzen, sodass dies auch zur Summation(Integral) beiträgt?
Was mich aber hier verwirrt, ist folgendes: die energie des teilchens ändert sich ja im ersten moment nach weggegeben der wände nicht und wie du geschrieben hast, bleibt diese auch konstant über alle t. Deshalb dachte ich, dass ich das E im exponenten als konstante (gegeben durch die grundzustandsenergie des kastenpotentials) ansehen muss und diese nicht durch p^2/(2m) darstellen kann.

wenn ich nun p^2/(2m) einsetze mache ich ja die energie variabel in p.
heißt das dann, dass ich die energie (=grundzustandsenergie) des teilchens bekomme, wenn ich den erwartungswert der energie des wellenpaketes berechne?

wenn nicht, wie kann ich die tatsache, dass E im exponenten gleich p^2/(2m) ist und ich weiß, dass das teilchen eine konstante energie von

hat, vereinbaren?

lg

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

Hallo wandbasilisk,

man kann in der Quantenmechanik doch jeden Zustand des Systems als Linearkombination, bzw. Integral der Basisvektoren eines beliebigen Zustandsraumes entwickeln. So kann man z.B. die Ortswellenfunktion eines Teilchens als Integral über die Eigenfunktionen des Impulsoperators darstellen. Dabei werden die einzelnen Basisvektoren (=Eigenfunktionen des Impulsoperators) ja nach Impuls p zusätzlich mit der zugehörigen Wellenfunktion im Impulsraum gewichtet. Die einzelnen Entwicklungskoeffizienten "verschmieren" im kontinuierlichen Fall also zu der Wellenfunktion im Impulsraum. Soweit hast Du das ja bereits auch selber benutzt.

Würde man also z.b. den Impuls des Anfangszustandes messen wollen, würde man keinen fest definierten Wert bekommen, sondern mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit den einen Impuls und mit einer anderen Wahrscheinlichkeit einen anderen Impuls. Womit man eine anschauliche Erklärung für die Bedeutung der Wellenfunktion im Impulsraum

bekommt. Das Quadrat des Betrages gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, den zugehörigen Impuls p zu messen.

Nun muss man sich nur noch daran erinnern, dass die im ersten Absatz beschriebene Spektralzerlegung der Wellenfunktion für jeden Zeitpunkt durchgeführt werden kann. Macht man das, erhalten die Entwicklungskoeffizienten eine Zeitabhängigkeit, die aber von der Energie des zugehörigen Impuls-Eigenzustandes abhängt und deswegen ist E unter dem Integral auch keine Konstante, sondern eine Funktion der Integrationsvariablen p. Die Phase eines jeden Entwicklungskoeffizienten (=

) dreht sich also unterschiedlich schnell, je nachdem zu welchem Impuls-Eigenzustand der Entwicklungskoeffizient gehört.

Etwas übersichtlicher, bzw. anschaulicher ist die zeitliche Entwicklung von Zuständen übrigens bei diskreten Energiestufen, S. 223 im Cohen-Tannoudji = Abschnitt 3.4.2 Konservative Systeme:

http://books.google.de/books?id=E5j5whaJ3qgC&lpg=PP1&dq=cohen-tannoudji%20quantum%20mechanics&hl=de&pg=PA223#v=onepage&q&f=false.

Konstant ist bei dem zerfließenden Wellenpaket also nur der Erwartungswert der Energie. Deswegen kann man trotzdem an dem System prinzipiell das gesamte Energiespektrum von 0 bis Unendlich messen. Nicht zu vergessen aber mit stark unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten, wobei mit zunehmender Energie die zugehörige Mess-Wahrscheinlichkeit natürlich immer weiter abnimmt.

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 196

wandbasilisk · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 18

super! alles klar, vielen dank für deine ausführliche erklärung.