Formel zur Längenausdehnung bei Erwärmung von Feststoffen

Mikki Maus · Anmeldungsdatum: 11.08.2020 Beiträge: 2

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich komme bei der Formel zur Berechnung der Längenausdehnung von Festkörpern bei Erwärmung immer wieder zu einem Widerspruch, den ich nicht verstehe:

Formel 1:
Delta L = alpha * Lo * Delta T
alpha: Längenausdehnungskoeffizient in 1/K
Lo: Ausgangslänge des Festkörpers (ich glaube, daß der Index 0 für die Ausgangslänge bei 0 °C steht???)
Delta T: Temperaturerhöhung in Kelvin

Laut dieser Formel ist die Ausgangslänge des Körpers Lo konstant, nämlich die Länge bei der Temperatur 0°C bzw. 273 Kelvin.
Was ich nicht verstehe: Mit jedem Kelvin Temperaturerhöhung wird die Ausgangslänge doch ein Stückchen größer, ist also nicht konstant?
Ich komme so zu einer Formel (Formel 2) mit einer Potenz, ähnlich der Zinseszins-Formel:

Meine Ideen:
Als Beispiel nehme ich eine Temperaturerhöhung von 2 K: Delta T = 2 K
Die Ausgangslänge sei Lo = 1 m
alpha wähle ich für dieses Beispiel sehr hoch, damit der Unterschied der Ergebnisse beide Formeln deutlich wird (ich glaube, in Wirklichkeit sind die Werte für alpha immer viel kleiner)
alpha = 0,01 1/K

Ergebnis laut Formel 1:
Delta L = 0,01 1/K * 1 m * 2 K = 0,02 m
D.h. der ursprünglich 1 m lange Körper ist nun 1,02 m lang

Herleitung der Formel 2, die ähnlich der Zinseszinsformel ist:

Hierzu erhöhe ich die Temperatur in 2 Schritten á 1 Kelvin:

Erhöhung um das 1. Kelvin ergibt die "Zwischenlänge" L1:

Delta L = alpha * Lo * Delta T

L1 = Lo + alpha * Lo * Delta T = Lo * (1 + alpha * Delta T)

Erhöhung um das 2. Kelvin ergibt die "Endlänge" L2:

L2 = L1 + Delta L1

mit Delta L1 = alpha * L1 * Delta T

folgt: L2 = L1 + alpha * L1 * Delta T = L1 * (1 + alpha * Delta T)

Setzt man für L1 den oben gefundenen Term Lo * (1 + alpha * Delta T) ein,

so erhält man:

L2 = Lo * (1 + alpha * Delta T) * (1 + alpha * Delta T)

L2 = Lo * (1 + alpha * Delta T)^2

Setzt man die gegebenen Beispielwerte ein, so erhält man:

L2 = 1 m *(1 + 0,01 1/K * 1 K)^2 = 1,0201 m

Die Differenz zwischen beiden Ergebnissen ist zwar nur 0,0001 m = 0,1 mm,
aber wenn man die Temperatur des Körpers z.B. um 50 K erhöht, ist die Differenz schon viel größer:

Ergebnis nach Formel 1: Endlänge = 1 m + 0,5 m = 1,5 m

Ergebnis nach Formel 2: Endlänge = 1 m + 0,645 m = 1,645 m

Ich frage mich, ob der Widerspruch beider Formeln dadurch zu erklären ist, daß die 1. Formel nur eine Näherungsformel ist, die man gut anwenden kann, da die Werte für alpha sehr klein sind, so daß die 1. Formel praktisch dieselben Ergebnisse liefert wie die 2. Formel?

Viele Grüße

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Mikki Maus · Anmeldungsdatum: 11.08.2020 Beiträge: 2

Guten Morgen,

vielen Dank für Deine Antwort und den link!
Du hast mir sehr geholfen Thumbs up!

Ich wünsche Dir noch einen schönen Tag