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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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 Heisenberg98 Verfasst am: 19. Jun 2020 22:55 Titel: Schwerpunkt berechnen |
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Hallo,
mir fehlt bei folgender Aufgabe jeglicher Ansatz:
Gegeben Sei eine Kugel konstanter Dichte  mit Radius  . Innerhalb dieser Kugel befindet sich eine kugelförmige Aushöhlung mit Radius  . Der Mittelpunkt dieser leeren Kugel ist um  relativ zum Mittelpunkt der massiven Kugel verschoben. Berechnen Sie den Schwerpunkt.
Ich kenne halt die Formel
 \cdot \vec{r} )
aber weiß absolut nicht wie ich da obige Informationen einbauen kann.
Viele Grüße
Heisenberg98 |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 20. Jun 2020 10:36 Titel: |
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Das Integral ist ja additiv. Du kannst deshalb das Integral der vollen Kugel nehmen und von diesem das Integral über die kleinere, leere Kugel subtrahieren. Dieses zweite Integral muss nicht ausgerechnet werden, denn das Ergebnis ist ja klar, einfach der Schwerpunkt der kleineren Kugel (multipliziert mit deren Masse). |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 20. Jun 2020 11:44 Titel: |
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Vielen Dank erstmal für deine Antwort. Allerdings komme ich noch nicht weiter.
Wie soll ich den Schwerpunkt der kleineren Kugel berechnen, wenn sie doch leer ist also keine Masse hat?
Wo soll ich den Ursprung des Koordinatensystems legen? Ich hätte gedacht in den Mittelpunkt der Kugel 1, dann könnte ich die leere Kugel so "legen", dass der Schwerpunkt der Kugel 1 den x-Wert 0 und den z-Wert 0 hat. Also dass ich nur noch y berechnen muss.
Viele Grüße
Heisenberg98 |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 20. Jun 2020 12:30 Titel: |
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Du nimmst den Schwerpunkt der kleineren Kugel unter der Annahme, dass diese die Dichte  habe. Der Körper, dessen Schwerpunkt bestimmt werden soll, ist ja die volle Kugel minus die kleinere Kugel, gerechnet mit der gleichen Dichte.
Als Ursprung des Koordinatensytems wählst Du den Mittelpunkt der grossen Kugel. Bezüglich dieses Punktes soll ja sinnvollerweise auch der Schwerpunkt des Körpers angegeben werden. Wobei nur der Abstand vom Mittelpunkt relevant ist, es ist ja klar, dass dieser auf der Geraden durch die beiden Kugelmittelpunkte liegen muss - nicht zwischen den beiden Punkten, sondern auf die der leeren Kugel gegenüberliegende Seite verlagert. Vielleicht das Ergebnis dann doch mit einem Vektor angeben, in Abhängigkeit von  , dem Ortsvektor der leeren Kugel. |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 21. Jun 2020 12:50 Titel: |
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Ok Urpsrung des Koordinatensystems im Mittelpunkt der Kugel 1. Dann gilt:
 \cdot y - \frac{1}{M_2} \int d^3 r \rho_2 (\vec{r}) \cdot y )
Was mache ich falsch? Soll ich für beide Kugeln die gleiche Dichte rho nehmen?
Ist es richtig dass das erste Integral wegfällt, weil ja y = 0 ist? |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 21. Jun 2020 12:55 Titel: |
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Habe es nochmal mit gleichen Dichten probiert und habe jetzt das Zwischenergebnis
)
Ist das soweit richtig? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 21. Jun 2020 13:20 Titel: |
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Im vorletzten Beitrag ist nur das erste Integral gleich 0, das zweite nicht:
}(\underbrace{\int\limits_{K_1}\rho\vec{r}\,\dd V}_{0}-\underbrace{\int\limits_{K_2}\rho\vec{r}\,\dd V}_{\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho\vec{u}}))
wobei K1, K2 die Kugeln mit den Radien r1 bzw r1 sind. sei der Ortsvektor des Mittelpunkts der Kugel mit Radius r2. Wenn man mit der Definition des Schwerpunkts vergleicht, sieht man, dass das 2. Integral gleich dem Schwerpunkt der kleinen Kugel mit Dichte ist, multipliziert mit der Masse, die diese Kugel hätte. |
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 21. Jun 2020 16:34 Titel: |
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Integrieren muss man nicht unbedingt. Man kann auch einfach mit der Formel für Punktmassen rechnen. Die Schwerpunkte der beiden Kugeln sind ja bekannt.
wobei
vec(r_S1)=0 ist und aufgrund der homogenen Massenverteilung fällt der
Massenschwerpunkt mit dem Volumenschwerpunkt zusammen. Das
Volumen der leeren kleinen Kugel muss man dann negativ in die Gleichung
einsetzen. |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 22. Jun 2020 15:04 Titel: |
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Ok danke euch zwei.
Ich komme jetzt auf
Ich denke das müsste passen.
Grüße
Heisenberg98 |
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 22. Jun 2020 15:29 Titel: |
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Ich verstehe nur nicht ganz wieso ich annehmen darf, dass beide Kugeln dieselbe Dichte rho haben. |
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autor237
Anmeldungsdatum: 31.08.2016
Beiträge: 509
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| autor237 Verfasst am: 22. Jun 2020 17:37 Titel: |
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| Heisenberg98 hat Folgendes geschrieben: |
Ich komme jetzt auf
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Wofür steht das a? Nicht den Ortsvektor  vergessen.
Das Minuszeichen soll ja bedeuten, dass der Ortsvektor des Schwerpunktes
entgegengesetzt zu diesem gerichtet ist.
Das mit der Dichte sieht so aus: Die gegebene Hohlkugel kann man so erhalten, dass man aus der großen massiven Kugel mit konstanter Dichte die kleine Kugel (logischerweise mit der gleichen konstanten Dichte) ausschneidet. Deshalb muss man das Volumen (oder die Masse) dieser kleinen Kugel negativ einsetzen. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 22. Jun 2020 17:48 Titel: |
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Oder etwas formaler:
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 22. Jun 2020 18:16 Titel: |
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Formal kannst du "fehlende" Masse negativ rechnen.
Also sollte rauskommen (Nullpunkt im Mittelpunkt grosser Kugel):
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Heisenberg98
Anmeldungsdatum: 01.11.2016
Beiträge: 72
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| Heisenberg98 Verfasst am: 22. Jun 2020 20:35 Titel: |
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Das a sollte natürlich ein u sein.
@Qubit: Ok ich denke das gleiche habe ich wenn man es ein wenig umformt.
Grüße
Heisenberg98 |
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