Hick Hack um Unschärferelation

Neko · Anmeldungsdatum: 04.07.2004 Beiträge: 526 Wohnort: Berlin

Hey ich bins wieder,

mal eine Frage an das studierte bzw. "sich-auskennende" Kollegium Augenzwinkern

:
Wie interpretiert ihr die Heisenberg'sche Unschärferelation?

Meiner Meinung nach sagt sie nicht mehr und nicht weniger aus, als, wenn ich an einem Ensemble von Teilchen (die Definition von Teilchen dürfte klar sein) eine Impulsmessung genügend oft durchführe, meinetwegen 170 mal, dann bilde ich daraus

, mache das gleiche nochmal mit der Ortsmessung und erhalte

. Dann sagt jetzt die Unschärferelation: Das Produkt aus beiden ist niemals größer als

. Mehr nicht und weniger auch nicht! Selbst wenn ich perfekte Messgeräte haben würde, die keinen Messfehler in meinen Messergebnissen verursachen würden, diese Beziehung würde trotzdem gelten.

Der Grund warum ich frage, ist: Bei Wikipedia und auch vielen sonstigen Quellen ist die Rede von einer "gleichzeitigen Messung" von Ort und Impuls. Von "gleichzeitig" ist doch gar nicht die Rede bei der HU.
Was meint ihr denn dazu?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich will mal versuchen, das anders zu beschreiben. Vielleicht erkennt man so eher, woher das mit der Unschärferelation überhaupt kommt:

Du kennst ja sicher die Schrödingergleichung und weißt, dass die Lösung für ein freies Teilchen eine Superposition von Wellen ist. Diese Lösungen beschreiben ja eine Wahrscheinlichkeitsamplitude im Ortsraum. Das heißt, dass man durch bilden des Betragsquadrats zu einer bestimmten Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei einem bestimmten Ort kommt.
Umgekehrt kannst Du das auch im Impulsraum betrachten und man stellt (mathematisch) fest, dass eine Impuls-Wahrscheinlichkeitsamplitude gerade die Fourier-Transformierte der Orts-Wahrscheinlichkeitsamplituden ist.
Jetzt hat aber die Fourier-Transformation die Eigenschaft, dass, wenn eine Funktion schärfer an einem Ort lokalisiert ist (also wenn sie eher spitz ist und eng um eine stelle verteilt ist, während weiter weg von dem Maximum nur sehr niedrige Werte sind), die dazu fouriertransformierte Funktion weiter verteilt ist. Wenn man das z. B. beim Schall macht: Ein kurzer Knall ist ja (zeitlich) sehr stark an einer Stelle lokalisiert. Deshalb müssen sehr viele Frequenzen daran beteiligt sein, um ein so kurzes Signal überhaupt zu realisieren.
Wenn man jetzt ein Teilchen als ein Wellenpaket betrachtet, das um einen Punkt herum gaußförmig verteilt ist. Dann kann man das ja auch wieder Fourier-transformieren und erhält auch wieder eine gaußförmige Verteilung im Impulsraum. Je breiter das eine, desto schmaler das andere und umgekehrt. Wenn man die Standardabweichung einer solchen gaußförmigen Verteilung mit der Standardabweichung ihrer fouriertransformierten multipliziert, dann kommt man immer auf einen Wert, der größer/gleich 2Pi (oder Pi halbe?, naja ist ja nicht so wichtig in diesem Zusammenhang...) ist.

Was bedeutet das auf Deine Frage hin: Mit einem Teilchenesemble hat die bisherige Betrachtung ja gar nichts zu tun. Allerdings ist es natürlich klar, dass eine Wahrscheinlichkeitsamplitude bzw. deren Quadrat erst wirklich "zur Geltung" kommt, wenn man viele Messungen macht.
Mit den perfekten Messgeräten mußt Du aber aufpassen: Sobald Du eine Messung machst, zwingst Du den Zustand des Teilchens in den gemessenen Zustand. Wenn Du also ganz genau den Ort eines Teilchens messen würdest, dann wäre der Impuls plötzlich beliebig, bzw. er könnte danach jeden beliebigen Wert haben. Wenn Du dann den Impuls mißt und damit die möglichen beliebigen Werte festlegst, dann ist der Ort komplett unbestimmt. Zum Glück gibt es keine perfekte Orts und Impulsmessung.
Also insgesamt gebe ich Dir Recht: Das was Du beschreibst, würde z. B. einem Streuexperiment entsprechen. Da wird zuerst der Ort durch ein Gitter/Spalt/Doppeltspalt festgelegt (gemessen) und dadurch der Impuls unscharf. Weiter hinten, also später, wird wieder der Ort bestimmt und wegen der Driftstrecke dazwischen damit eigentlich der Impuls gemessen, den das Teilchen zwischen Spalt und Schirm hatte. Das macht man dann mit vielen Teilchen, um die Verteilung überhaupt ermitteln zu können. Aber die Wahrscheinlichkeit hat jedes einzelne Teilchen. Das ist wie bei einem Würfel: Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln ist immer 1/6 pro Wurf. Um das aber messen zu können reicht es nicht, nur einmal den Würfel zu werfen. Erst wenn man eine Statistik hat, kann man eine Häufigkeit ermitteln, mit der man auf die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wurfes schließen kann.
Das mit dem gleichzeitig Messen gefällt mir eigentlich auch nicht so gut. Ich denke, dass das vielleicht eher aus der Betrachtung eines einzelnen Zustandes kommt. Wenn man die Wellenpakete so wie oben definiert hat und die Standardabweichung der beiden Kurven berechnet, dann kommt das Produkt aus beiden nie unter den Wert. Das wäre dann so ähnlich wie eine gleichzeitige Messung. Im Wikipedia-Artikel geht es wahrscheinlich gar nicht so sehr um eine echte Messung als Vorgang, sondern nur um die Bestimmtheit von Impuls und Ort, was aber irgendwo schon das selbe ist. Nur weiß ich nicht, ob es überhaupt möglich ist, genau gleichzeitig eine Impuls und eine Ortsmessung durch zu führen... Aber wenn man zuerst die eine macht, ist das Teilchen schon wieder in einem anderen Zustand. Wenn man ganz exakt messen könnte, sogar in einem Eigenzustand zu der gemessenen Observablen.

Tut mir leid, dass ich Dir keine direkte Antwort zu Deiner Frage liefern konnte, aber vielleicht hilft Dir das trotzdem schon etwas weiter.

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Deine Messbeschreibung klingt für mich wie eine klassische Messung der Breite der Impulsverteilung eines Gases und einer davon unabhängigen Bestimmung der Breite der Ortsverteilung der Teilchen dieses Gases.

Die quantenmechanische Messung bezieht sich dagegen auf zwei Eigenschaften der Wellenfunktion eines einzelnen Teilchens: Seine Impulsunschärfe zu einem bestimmten Zeitpunkt und seine Ortsunschärfe zum selben Zeitpunkt. Um diese Eigenschaften des Teilchens zu messen, musst du also zum einen die Anfangsbedingung der Messung besser benennen und zum anderen beide Größen im selben Messgang messen. Also zum Beispiel so:

Du präparierst eine große Anzahl von Teilchen im selben Quantenzustand. Und du misst zu einem bestimmten Zeitpunkt nach der Präparation den Impuls und den Ort des Teilchens für jedes so präparierte Teilchen. Dann wirst du feststellen, dass du nur Zustände präparieren kannst, bei denen Ortsunschärfe und Impulsunschärfe des Teilchens die Heisenbergsche Unschärferelation erfüllen.

dachdecker2

Hallöchen

Neko könntest du nicht noch einen Link zu dem entsprechenden Wikipediaeintrag legen, dann könnten as_string und dermarkus mal drüberschauen und vielleicht Korrekturen einbauen.

Edit:
Ich hab gerade das Datum von Nekos Post entdeckt und mal selbst geschaut: http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation

Da steht, dass für die hälfte eines Ensembles identischer Teilchen der Ort, für die andere Hälfte der Impuls gemessen wird. Es soll dabei unmöglich sein, dass das Produkt der beiden Standardabweichungen (so deute ich das Delta) kleiner wird als

.

Da scheint nicht viel zu ändern zu sein Augenzwinkern

.

Maweki · Anmeldungsdatum: 20.07.2004 Beiträge: 4 Wohnort: Leipzig

Also so wie ich es erklaert bekommen habe, dass ich es auch verstehe.
Man nehme ein Teilchen und betrachte es als Funktion, die man nicht kennt.
Wenn man jetzt die Funktion am Punkt x betrachtet, den man aber nicht genau bestimmen kann, macht man um den Punkt eine Epsilon-Umgebung. Und je kleiner man die Epsilon-Umgebung macht, desto genauer bekommt man den Funktionswert des Teilchens. Doch je kleiner die Epsilon-Umgebung wird, desto schwieriger wird es, an dieser Stelle den Anstieg zu bestimmen, also den Impuls. Macht man die epsilon-Umgebung groesser, kann man zwar den Impuls gut bestimmen, aber den genauen Ort des Teilchens nichtmehr.
Ich hoffe, das is so halbwegs richtig und verstaendlich.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

senscience · Anmeldungsdatum: 13.08.2006 Beiträge: 11 Wohnort: Nürnberg

Ich glaube er hat schon verstanden um was es geht und, welche Interpretationsansätze es gibt. Aber es ging ihm meiner Meinung nach darum, ob die Realtion:

[mit

= konjugierte Variable zu

(, deren Einheitenprodukt Js sein muss)] sich nicht nur auf gleichzeitige Messung dieser beiden Variablen bezieht, sondern eine Aussage über die auf zeitlich voneinander getrennten Werte beider Variablen hat. Ob villeicht nicht etwa allgemein das Produkt der Unschärfen beider Variablen eben immer größer als h quer/2 ist.

Dazu ist zu sagen: Da es sich aber gerade um das PRODUKT handelt, was noch dazu in einer Ungleichung vorkommt (die Indeterminiertheit kann ja auch ein ganzes Stück größer als

sein), ist es eben diese elementare Komplementarität beider Werte, die im Zusammenhang, beider aufeinander, auftritt. Und zur Gleichzeitigkeit: Die Werte können sich ja ändern und sind vor der Messung völlig indeterminiert. Außerdem kommt es ja auf das Produkt an: Sprich: Welchen wert hat dieser Wert, WENN der andere Wert welchen hat. Während der Impuls x hat und der Ort y zum Beispiel. Daraufkommt es an. Wie der Wert "scharf" ist, wenn der andere Wert "so" "scharf" ist wie er eben bei der Messung dazu "gezwungen" wurde. Das Produkt der Ungenauigkeit des einen Wertes mit dem des anderen, WÄHREND dieser eben jene Ungenauigkeit besitzt. Es kann schon von einer Gleichzeitigkeit der beiden Werte gesprochen werden, es muss soger, weil die Heisenbergsche Unschärferelation ja betrachtet, was zur Unschärfe des jeweils anderen Wertes zu sagen ist und dafür braucht man ja die beiden Werte zum Zeitpunkt der MEssung des jeweils anderen, also gleichzeitig. Also einfach: Ja ^^.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Hallo senscience,

Ich glaube, du meinst vor allem den folgenden Fall: Es kann vorkommen, dass der Zustand, für den man die Unschärferelation überprüfen möchte, durch die Messung der einen Variablen erst präpariert wird. Und dass die beiden Messungen zeitlich nacheinander erfolgen, obwohl beide Messungen Eigenschaften ein und desselben Zustands messen, also des Zustandes zu einer bestimmten Zeit.

Ein Beispiel dafür wäre die Beugung am Einzelspalt:

Teilchen, die durch einen Einzelspalt der Breite

hindurchfliegen, haben direkt nach dem Durchqueren des Einzelspaltes eine Ortsunschärfe in x-Richtung von ungefähr

. Durch diese Messung "Hindurchfliegen durch den Einzelspalt" ist also nun der Zustand des Teilchens direkt nach dem Einzelspalt festgelegt (präpariert) worden.

Misst man nun auf dem Beugungsschirm, wo das Teilchen auftrifft, so kann man auf den Impuls des Teilchens in x-Richtung

, den das Teilchen direkt nach Durchfliegen des Einzelspalts gehabt hat, schließen. Wiederholt man diese Messung des Impulses für eine große Anzahl gleich präparierter Teilchen (also lauter Teilchen, die durch den Einzelspalt geflogen sind), dann bekommt man aus der Verteilung der Einschlagsstellen auf dem Schirm die Impulsunschärfe

. Dies ist die Impulsunschärfe des Zustandes des Teilchens direkt nach Durchqueren des Einzelspaltes. Obwohl man also die beiden Messungen nacheinander durchführt (zuerst die Messung des Ortes am Einzelspalt, die den Zustand präpariert, dann die Messung des Impulses auf dem Beugungsschirm), beziehen sich beide Messungen auf denselben Zustand, der zu dem Zeitpunkt vorliegt, wenn das Teilchen den Einzelspalt gerade durchquert hat.

Sebastian999 · Gast