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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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 Corbi Verfasst am: 16. Apr 2020 13:41 Titel: Wie findet man die Eigenzustände des Ortsoperators? |
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Ich verstehe nicht ganz wie man die Eigenzustände des Ortsoperators  findet.
Im Ortsraum ist der Operator ja einfach durch die Multiplikation mit den Ortskoordinaten gegeben aber die Eigenwertgleichung wird dann ja von jedem beliebigen Vektor erfüllt
(ich habe den Ortsoperator hier mit dem Pfeil drüber geschrieben)
die selbe Gleichung wird ja auch vom Vektor  erfüllt.
Also wie finde ich den jetzt den richtigen Ortszustandsvektor ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 14:59 Titel: |
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Zunächst mal hast du ein Notationsproblem - zu viele q‘s. q sei der Operator; a sei eine beliebige reelle Zahl. Die Eigenwertgleichung lautet
 \, |a\rangle = 0)
Dich interessiert nicht der abstrakte Zustand, denn der ist rein abstrakt erstmal einfach |a>.
Was dich interessiert ist wohl die Eigenfunktion in der Variablen x zum Eigenwert a also
 = \langle x|a\rangle)
Richtig?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Apr 2020 20:43, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 16. Apr 2020 17:29 Titel: |
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was mich interessiert ist: wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen, das sich im Zustand  befindet , am Ort q zu messen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 17:35 Titel: |
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Das ist auf einmal eine ganz andere Frage und hat nur am Rande etwas mit den Eigenzuständen zu tun.
Für die Wellenfunktion gilt
 = \langle x | \psi \rangle)
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort x gilt
 = |\psi(x)|^2)
Für die Wahrscheinlichkeit in einem Bereich
gilt
 = \int_{x_a}^{x_b} dx \, |\psi(x)|^2)
Das funktioniert nicht für Ortseigenzustände!
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 16. Apr 2020 17:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das ist auf einmal eine ganz andere Frage und hat nur am Rande etwas mit den Eigenzuständen zu tun.
Für die Wellenfunktion gilt
Für die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ort x gilt
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Und wie finde ich jetzt das:  ? Ich dachte das sei gerade der Eigenzustand des Ortsoperators ? Genau das war meine ursprüngliche Frage |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 18:16 Titel: |
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Ja, so ist das. Das |x> hat aber praktisch keine andere Eigenschaft außer
 \, |x\rangle = 0)
)
Es handelt sich einfach um eine abstrakte Definition eines Einheitsvektors in einer kontinuierlichen Basis. Darin steckt keine echte physikalische Bedeutung.
Diese ist im Zustand |psi> bzw. der Wellenfunktion kodiert. Und mit letzterer kannst du konkret rechnen.
Für welchen Zustand |psi> möchtest du denn die Wahrscheinlichkeit berechnen?
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 16. Apr 2020 20:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 296
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| Corbi Verfasst am: 16. Apr 2020 18:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ja, so ist das. Das |x> hat aber praktisch keine andere Eigenschaft außer
 \, |x\rangle = 0) |
was mein Problem ist, wenn  durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch  und die Eigenwertgleichung ist für beliebige Vektoren erfüllt.
| Zitat: | | Für welchen Zustand |psi> möchtest du denn die Wahrscheinlichkeit berechnen? |
Es gibt keine konkrete Aufgabenstellung. Ich will gerade nur ein paar Unklarheiten beseitigen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Apr 2020 18:42 Titel: Re: Wie findet man die Eigenzustände des Ortsoperators ? |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | Ich verstehe nicht ganz wie man die Eigenzustände des Ortsoperators findet.
Im Ortsraum ist der Operator ja einfach durch die Multiplikation mit den Ortskoordinaten gegeben aber die Eigenwertgleichung wird dann ja von jedem beliebigen Vektor erfüllt
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Das ist keine Eigenwertgleichung für normale Hilbertraumvektoren. In der Ortsdarstellung ist, wie du bereits sagst, der Ortsoperator durch die Multiplikation mit x gegeben
(x) = x\psi(x))
Die Eigenwertgleichung für diesen Operator würde nun lauten
 = \lambda\psi(x))
mit konstantem  . Es ist leicht zu sehen, daß diese Gleichung keine nichttriviale Lösung in  haben kann. Der Operator X hat also überhaupt keine Eigenwerte.
Er besitzt aber ein kontinuierliches Spektrum. Das ist definiert als die Menge der Zahlen , für die  nicht surjektiv ist, aber dichtes Bild in besitzt. (Im Vergleich dazu sind die Eigenwerte diejenigen , für die dieser Operator nicht injektiv ist.) Es ist ebenfalls leicht zu sehen, daß
\psi(x) = g(x))
nicht für jedes g(x) eine Lösung haben kann. Also hat X ein rein kontinuierliches Spektrum und keine Eigenzustände existieren im Hilbertraum.
Wenn du von "Ortseigenzuständen" hörst, sind immer sogenannte "uneigentliche" oder "verallgemeinerte" Zustände gemeint. Diese stammen nicht aus dem Hilbertraum, sondern aus dem Dualraum eines dichten Teilraums des Hilbertraums, z.B. aus dem Dualraum des Definitionsbereichs von X. Man kann sich nun fragen, welche dieser verallgemeinerten Zustände  die Gleichung
 = \lambda \xi(\psi))
erfüllen. Diese Gleichung kann durchaus auch für den Ortsoperator nichttriviale Lösungen haben. In diesem Sinne ist der Raum der verallgemeinerten Zustände also größer als der Hilbertraum. Offensichtlich gilt ja nun
 = \lambda\delta(x- \lambda)) ,
d.h. für den Ortsoperator ist ) genau der Verallgemeinerte Eigenzustand zum (verallgemeinerten) Eigenwert . Denn für jeden Zustand  gilt
 = \int \delta (x -\lambda) x \psi(x) = \lambda \psi(\lambda) = \lambda \delta_\lambda(\psi)) .
Also ist  genau der verallgemeinerte Eigenzustand, den du suchst.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 17. Apr 2020 17:10, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 20:41 Titel: |
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Ein beliebiger Vektor ist
 \, |x\rangle)
Der Ortsoperator wirkt gemäß
 \, \hat{q} \, |x\rangle = \int_{\mathbb{R}} dx \, x \, \psi(x) \, |x\rangle \neq \lambda \, |\psi\rangle )
Es liegt kein Eigenvektor vor.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 20:50 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: |
was mein Problem ist, wenn durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch und die Eigenwertgleichung ist für beliebige Vektoren erfüllt. |
Erst hab ich deine Notation kritisiert, jetzt habe ich selbst den gleichen Bock geschossen.
Also nochmal mit dem einen Operator q und allen reellen Zahlen x:
wenn  durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, dann ist doch 
Jetzt klar, warum das falsch ist?
kann nicht für alle x und genau einen Operator q richtig sein.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Apr 2020 21:19 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Also nochmal mit dem einen Operator q und allen reellen Zahlen x:
wenn durch Multiplikation mit der Ortskoordinate wirkt, [...]
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Das ist doch eigentlich eine übliche Definition des Ortsoperators...
| Zitat: |
[...] dann ist doch
Jetzt klar, warum das falsch ist?
kann nicht für alle x und genau einen Operator q richtig sein. |
Behauptest du hier aus der Definition des Ortsoperators folgt etwas falsches? Das hieße ja dann, der Operator q existierte überhaupt nicht.
Was genau ist denn eigentlich falsch?  ist natürlich eine saloppe Schreibweise für (x) = x f(x)) ... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18078
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| TomS Verfasst am: 16. Apr 2020 22:46 Titel: |
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In der Ortsdarstellung ist
 \, \psi(x) = 0)
korrekt für alle Wellenfunktionen
und damit auch als Operatorgleichung
Ich habe jedoch immer die abstrakte Dirac-Notation verwendet, und da ist
als Operatorgleichung falsch.
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