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Nachricht |
lh
Gast
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 lh Verfasst am: 13. Dez 2014 17:47 Titel: Eigenzustände |
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Meine Frage:
Hallo
Ich habe ein quantenmechanisches System mit 4 Energieeigenwerten
E1<E2<E3<E4
Jetzt soll ich die Anzahl der Eigenzustände berechnen
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben
Meine Ideen:
Irgendwas mit Linerarkominatition vielleicht? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 13. Dez 2014 17:56 Titel: |
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Poste die Frage mal im Wortlaut... so wie Du es beschrieben hast, ist die Frage entweder trivial oder unlösbar... |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 13. Dez 2014 18:10 Titel: |
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Die genaue Frage kann ich nicht sagen
aber das ist sie im Wesentlichen
(Annahme: Es gibt zu jedem Energieeigenwert genau eine Eigenfunktion)
Ich dachte erst,dass es einfach 4 Eigenzustände sind
Aber dann kam mir noch die Idee,dass es damit etwas damit zu tun haben könnte
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 13. Dez 2014 18:51 Titel: Re: Eigenzustände |
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| lh hat Folgendes geschrieben: |
(Annahme: Es gibt zu jedem Energieeigenwert genau eine Eigenfunktion)
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| lh hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich habe ein quantenmechanisches System mit 4 Energieeigenwerten
E1<E2<E3<E4
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Ich weiss jetzt nicht genau, wo das Problem liegt... |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 17. Dez 2014 19:50 Titel: |
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Ja hier kommt als Lösung 4 raus |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2014 20:36 Titel: |
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Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand, d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig, da es sich dann nicht mehr um Eigenzustände handelt (Linearkombinationen wären innerhalb eines entarteten Unterraumes zulässig). Die Antwort ist also trivialerweise "4".
Im Falle eines endlich-dimensionalen Lösungsraumes (hier: dim = 4) ist das quantenmechanische Problem der Eigenzustände der Schrödingergleichung exakt äquivalent zu einer Eigenwertgleichung der linearen Algebra. Auch da folgt trivialerweise "4".
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 17. Dez 2014 21:37 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand,
d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig |
Es gibt doch den einfachen Kasten mit unendlichem Potentialwall
Dort ist es doch so, dass zu jedem Eigenwert ein Eigenzustand existiert
Aber bei einer Aufgabe hieß es dass sich das Teilchen im Kasten
in folgendem Zustand befindet
= \frac{1}{\sqrt{2}}\Phi_1(x)+ \frac{1}{\sqrt{2}}\Phi_2(x))
das kann doch dann eigentlich nicht sein
und wieso schreibt man da Phi und nicht psi
Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2014 22:00 Titel: |
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| lh hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand,
d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig |
Es gibt doch den einfachen Kasten mit unendlichem Potentialwall
Dort ist es doch so, dass zu jedem Eigenwert ein Eigenzustand existiert
Aber bei einer Aufgabe hieß es dass sich das Teilchen im Kasten
in folgendem Zustand befindet
das kann doch dann eigentlich nicht sein |
Doch, natürlich, denn es sind prinzipiell (fast) beliebige Linearkombinationen als physikalisch mögliche Zustände erlaubt.
Führen wir mal eine vernünftige Nomenklatur ein (leider gibt es verschiedene).
Wir haben ein physikalisches System, das wir mittels eines Hamiltonoperators H beschreiben.
Dieser habe abzählbar (überabzählbar) viele Eigenzustände u_nu, d.h.
\,u_\nu(x) )
nu ist dabei ein diskreter (kontinuierlicher) Index.
Diese Eigenzustände definieren eine verallgemeinerte Basis. Beliebige Zustände psi lassen sich dann als Summe über nu (Integral über nu) und Koeffizienten psi_nu darstellen:
 = \sum_\nu \psi_\nu\,u_\nu(x))
Diese Zustände psi, d.h. die Linearkombinationen der Eigenzustände, sind physikalisch möglich und sinnvoll. Es ist keineswegs so, dass immer nur Eigenzustände realisiert sind.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 17. Dez 2014 22:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand,
d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig |
Also ich sehe da einen Widerspruch
Es gibt doch im Kastenpotential keine Entartungen und trotzdem soll eine Linerarkombination möglich sein?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
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Müsste da nicht eine Konstante stehen?
 = \sum_\nu c_\nu\,u_\nu(x)) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2014 22:31 Titel: Kein |
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| lh hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand,
d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig |
Also ich sehe da einen Widerspruch |
Ja, wenn du nicht vollständig liest, dann nicht.
Also:
| lh hat Folgendes geschrieben: | E1<E2<E3<E4
Jetzt soll ich die Anzahl der Eigenzustände berechnen |
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zu jedem Eigenwert existiert genau ein Eigenzustand, d.h. es liegt keine Entartung vor. Damit sind Linearkombinationen unzulässig, da es sich dann nicht mehr um Eigenzustände handelt. |
Deine Eigenwerte E1 ... sind unterschiedlich (= es liegt keine Entartung vor).
Eine beliebige Linearkombination ist ein zulässiger Zustand, jedoch kein Eigenzustand
Betrachte zwei Eigenzustände u_1 und u_2 zu zwei verschiedenen Energieeigenwerten E_1 und E_2. Betrachte eine Linearkombination
 = \psi_1\,u_1(x) + \psi_2\,u_2(x))
Du zählst Eigenzustände. Bisher hast du zwei. Liefert dir die Linearkombination einen neuen Eigenzustand? Wenn ja, dann wäre ja
 = E\,\psi(x) = E\,[\psi_1\,u_1(x) + \psi_2\,u_2(x)]latex]
<br />
<br />
Aber es ist ja
<br />
<br />
[latex]H\,\psi(x) = E_1\,\psi_1\,u_1(x) + E_2\,\psi_2\,u_2(x))
Was müsste gelten, damit die beiden rechten Seiten übereinstimmen? Zunächst tun sie das ja nicht!
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Dez 2014 22:43, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 17. Dez 2014 22:42 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Eine beliebige Linearkombination ist ein zulässiger Zustand, jedoch kein Eigenzustand |
das leuchtet ein
Danke |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2014 22:44 Titel: |
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| lh hat Folgendes geschrieben: | Müsste da nicht eine Konstante stehen?
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Ja, klar; mein psi_nu entspricht deinem c_nu
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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lh
Gast
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| lh Verfasst am: 17. Dez 2014 22:54 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |  = E_1\,\psi_1\,u_1(x) + E_2\,\psi_2\,u_2(x))
Was müsste gelten, damit die beiden rechten Seiten übereinstimmen? Zunächst tun sie das ja nicht! |
E1=E2 |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18049
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| TomS Verfasst am: 17. Dez 2014 23:45 Titel: |
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| lh hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Was müsste gelten, damit die beiden rechten Seiten übereinstimmen? Zunächst tun sie das ja nicht! |
E1=E2 |
Genau!
Laut deiner Aufgabe gilt jedoch
| lh hat Folgendes geschrieben: | E1<E2<E3<E4
Jetzt soll ich die Anzahl der Eigenzustände berechnen |
Also kann nicht E1 = E2 gelten, und demnach findest du keine Linearkombination, die ein Eigenzustand ist.
Ganz allgemein sind Linearkombinationen genau dann Eigenzustände zu H, wenn Entartung vorliegt, d.h. wenn verschiedene Eigenzustände zu identischem Eigenwert E vorliegen.
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