Greensche Funktion des Laplaceoperators

kleinesKorollar · Anmeldungsdatum: 21.03.2019 Beiträge: 19

Meine Frage:
Ich soll als Übungsaufgabe Folgendes zeigen:

Ich bräuchte Hilfe, wie ich es geschickt zeigen kann und würde mich über Erklärungen freuen, wozu man diese Identität braucht.

Meine Ideen:
Da die rechte Seite der Gleichung nur für

ungleich null ist, würde ich als erstes folgendes zeigen:

Dies lässt sich sicherlich durch sehr lange Rechnungen zeigen, ich möchte aber einen geschickten Weg nutzen.
Ich habe es mit Kugelkoordinaten probiert. Hier mit lässt sich der Bruch folgendermaßen ausdrücken:

Jedoch wird beim Anwenden des Gradienten auf den Ausdruck der Mischterm

sehr hässlich und lang, was ich zu verhindern versucht habe.
Was mich weiterhin etwas verwirrt: für

steht auf der linken Seite eine Null unter der Wurzel, was nicht definiert ist.

Areton · Gast

in Kugelkoordinaten gilt aber |r-r'|=sqrt(r^2-r'^2-2rr'cos(theda))

Ist das eine mathematische, oder physikalische aufgabe? wenns ne physikalische ist könntest du über das Potenzial gehen, also Nabla^2 Phi = rho.

Ansonsten gilt Nabla 1/|r-r'| = (r-r')/|r-r'|^3 das hilft vielleicht um zu zeigen, dass es für r-r' != 0 gleich 0 ist.
für r-r' = 0 musst deinen therm umformen ich bin mir gerade nicht so ganz sicher, vielleicht über die exponentialfunktion?

Areton · Gast

oder schau mal einfach hier, da wird das schön erklärt

https://math.stackexchange.com/questions/368155/laplacians-and-dirac-delta-functions

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Areton · Gast

Aber an der Stelle ist sowohl zähler wie auch nenner gleich null, ist die definitionslückedadurch nicht hebbar?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Leider nicht... der Nenner hat ja eine höhere Potenz als der Zähler.

Areton · Gast

Ja, okay. Das klinkt nicht unlogisch. Leider unterliege auch ich der typischen Physiker Krankheit, angewante mathematik zwar zu können, aber explizite definitionen nur noch schwammig im Kopf zu haben ... .

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1116

Areton · Gast

vorausgesetzt es ist ein physikalisches und kein mathematisches Problem. Die Relation gilt aber auch unabhängig von der Physik, was das Lösen deutlich schwieriger macht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762