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kleinesKorollar
Anmeldungsdatum: 21.03.2019
Beiträge: 19
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 kleinesKorollar Verfasst am: 04. Feb 2020 02:55 Titel: Greensche Funktion des Laplaceoperators |
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Meine Frage:
Ich soll als Übungsaufgabe Folgendes zeigen:
 )
Ich bräuchte Hilfe, wie ich es geschickt zeigen kann und würde mich über Erklärungen freuen, wozu man diese Identität braucht.
Meine Ideen:
Da die rechte Seite der Gleichung nur für  ungleich null ist, würde ich als erstes folgendes zeigen:
Dies lässt sich sicherlich durch sehr lange Rechnungen zeigen, ich möchte aber einen geschickten Weg nutzen.
Ich habe es mit Kugelkoordinaten probiert. Hier mit lässt sich der Bruch folgendermaßen ausdrücken:
^{-\frac{1}{2}} )
Jedoch wird beim Anwenden des Gradienten auf den Ausdruck der Mischterm  sehr hässlich und lang, was ich zu verhindern versucht habe.
Was mich weiterhin etwas verwirrt: für steht auf der linken Seite eine Null unter der Wurzel, was nicht definiert ist. |
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Areton
Gast
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| Areton Verfasst am: 04. Feb 2020 08:55 Titel: |
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in Kugelkoordinaten gilt aber |r-r'|=sqrt(r^2-r'^2-2rr'cos(theda))
Ist das eine mathematische, oder physikalische aufgabe? wenns ne physikalische ist könntest du über das Potenzial gehen, also Nabla^2 Phi = rho.
Ansonsten gilt Nabla 1/|r-r'| = (r-r')/|r-r'|^3 das hilft vielleicht um zu zeigen, dass es für r-r' != 0 gleich 0 ist.
für r-r' = 0 musst deinen therm umformen ich bin mir gerade nicht so ganz sicher, vielleicht über die exponentialfunktion? |
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Areton
Gast
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 04. Feb 2020 09:17 Titel: |
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Die Erklärung ist zwar schön - aber leider falsch. Hier wird der Satz von Gauß auf das Vektorfeld r/r³ angewendet. Das Satz gilt aber nur für Funktion, die stetig differenzierbar sind; r/r³ bestitzt bei 0 aber eine Polstelle... |
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Areton
Gast
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| Areton Verfasst am: 04. Feb 2020 09:25 Titel: |
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Aber an der Stelle ist sowohl zähler wie auch nenner gleich null, ist die definitionslückedadurch nicht hebbar? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 04. Feb 2020 09:27 Titel: |
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Leider nicht... der Nenner hat ja eine höhere Potenz als der Zähler. |
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Areton
Gast
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| Areton Verfasst am: 04. Feb 2020 09:58 Titel: |
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Ja, okay. Das klinkt nicht unlogisch. Leider unterliege auch ich der typischen Physiker Krankheit, angewante mathematik zwar zu können, aber explizite definitionen nur noch schwammig im Kopf zu haben ... . |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 04. Feb 2020 15:21 Titel: Re: Greensche Funktion des Laplaceoperators |
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| kleinesKorollar hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich soll als Übungsaufgabe Folgendes zeigen:
Ich bräuchte Hilfe, wie ich es geschickt zeigen kann und würde mich über Erklärungen freuen, wozu man diese Identität braucht.
Meine Ideen:
Da die rechte Seite der Gleichung nur für ungleich null ist, würde ich als erstes folgendes zeigen:
Dies lässt sich sicherlich durch sehr lange Rechnungen zeigen, ich möchte aber einen geschickten Weg nutzen.
Ich habe es mit Kugelkoordinaten probiert. Hier mit lässt sich der Bruch folgendermaßen ausdrücken:
Jedoch wird beim Anwenden des Gradienten auf den Ausdruck der Mischterm sehr hässlich und lang, was ich zu verhindern versucht habe.
Was mich weiterhin etwas verwirrt: für steht auf der linken Seite eine Null unter der Wurzel, was nicht definiert ist. |
Ein konservatives (Gradienten-) Kraftfeld lässt sich mit der Potentialgleichung einer (endlichen) Quelldichte beschreiben:
 = - \rho(\vec r))
Die Lösungen dieser Gleichung mit entsprechendem asymptotischen Verschwinden der Beiträge im Unendlichen ist bekanntlich (aus Elektrostatik und Newtonschem Gravitationspotential):
 = \frac{1}{4 \pi} \int {d^3 \vec {r'} \frac{\rho(\vec {r'})}{|\vec r - \vec {r'}|}})
Interessiert man sich nun für die (Greensche-) Lösung von "Punktladungen" dieser Gleichung (in r0), so kann man hier die Ladungsdichte entsprechend ansetzen ("Deltafunktion"):
=4 \pi \delta(\vec {r'}-\vec r_0))
Rechnet man nun hiermit ) (s.o.) aus, so bekommt man mit der Potentialgleichung die gesuchte Beziehung. |
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Areton
Gast
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| Areton Verfasst am: 04. Feb 2020 15:39 Titel: |
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vorausgesetzt es ist ein physikalisches und kein mathematisches Problem. Die Relation gilt aber auch unabhängig von der Physik, was das Lösen deutlich schwieriger macht. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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