coupled systems (Bewegungsgleichung gekoppelter Massen)

joerg.schad · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 1

Hallo,
habe ein kleines Problem.
Wenn ich 2 (verschiedene) Massen haben, die durch eine Feder verbunden sind. Hat jemand einen Tip wie ich auf die Bewegungsgleichungen der Massen komme?
Danke

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Der Ansatz für die Bewegungsgleichungen ist:

beschleunigende Kraft = auf den Körper wirkende Kraft .

Die Kraft, die durch die Feder auf einen Körper wirkt, ist ja die Federkraft, die von der Auslenkung der Feder

aus ihrer Gleichgewichtslage und der Federkonstanten

abhängt.

Und die beschleunigende Kraft auf ein Massestück der Masse

ist ja einfach gleich

. Die Beschleunigung

ist dabei die zweite Ablenkung der Position

dieser Masse nach der Zeit.

Also kommst du mit dem Ansatz oben auf folgende Gleichung für ein Massestück:

Was hast du konkret für eine experimentelle Anordnung gegeben? Hängen die beiden Massestücke zusätzlich jeweils an einem Fadenpendel, oder ist die Feder mit den Massestücken dran irgendwo festgemacht? Musst du eventuell also noch die Gewichtskraft bzw. die Komponente der Gewichtskraft berücksichtigen, die auf diese Massestücke parallel zu ihrer Bewegungsrichtung wirkt?

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ich würde demmarkus zustimmen:
Die Kräfte an den Enden der Feder werden gleich sein, addiert ergeben sie die Federspannkraft.

. Damit teilen sich die Beschleunigungen entsprechend der Massen auf.

Meinst du sowas?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Vielleicht noch ein Tip dazu:

Wenn man das ganze im Schwerpunktsystem betrachtet kann man es auf zwei harmonische Schwingungen zurück führen.
Also erst ins Schwerpunktsystem transformieren, dort die Bewegungen der Körper als harmonische Schwingungen ausrechnen (wobei sich glaube ich die Federkonstante ändern könnte... muß ich mal nachrechnen... bzw. muß man dann vielleicht mit der "reduzierten Masse" rechnen, wie war das nochmal genau?), dann die Bewegungsgleichungen zurück ins ursprüngliche System transformieren.

Gruß
Marco

//Edit: Schau Dir dazu vielleicht auch mal diesen Thread an:
http://www.physikerboard.de/topic,4142,-gekoppelte-schwingung.html
Allerdings war die Aufgabe noch etwas komplizierter, weil da auch noch das Rotieren der Scheiben eine wichtige Rolle spielte. Wenn man das aber weg läßt, dann hat man Deinen Fall.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Na ja, das Minus ist geschenkt.

Die Feder bringt doch insgesamt eine Kraft proportional zur Auslenkung auf.
Ach so, du meinst, auf jeder Seite gilt m*a=D*s? Ja, das stimmt natürlich.
Na ja, ist ja nicht meine Aufgabe, und aus Fehlern lernt man bekanntlich smile

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

EDIT, Sorry, ich muß das noch mal überarbeiten waren zu viele ungenauigkeiten dabei:

Die Ruhelänge der Feder ist:

Der Abstand der Massen ist, wenn sie sich nur entlang der federrichtung bewegen können:

Das heißt die Feder wird um den Weg

Gesxtaucht bzw, gedehnt.
Die Kraft ist also

, diese wirkt auf beide Masenpunkte, wegen aktion=reaktion.
Nehmen wir jetzt an, das

größer als

ist:

Machen wir noch die Substitution:

erhält man

edit: So hoffe jetzt ist's beser,
hab noch nen voerzeichen geänderrt(10.07)

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Was hat denn die Substitution mit der Tilde zu bedeuten? Ist das einmal die Nulllage, und das andere mal nicht? Warum lässt du sie dann wieder weg?

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Okay war zu faul zum Schreiben, deshalb hab ich die Tilde weggelassen.(edit) Habs jetz doch wieder geschrieben und diverse sachen geändert: Sry.(edit)
Die Substitution sagt, das wenn sowohl

als auch

Null sind, die Feder entspannt ist. Man hat damit die Inhomogenität in dem DGl System Wegtransformiert. Bzw man betrachtet nur Abweichungen von der Gleichgewichtslage des Systems.
Eigentlich wäre es schöner zu schreiben:

Wobei mit

Gleichgewichtslagen gemeint sind. Dann kommt man auf die selben Gleichungen.
Wenn man

und

setzt, entspricht dies meiner obigen Substitution.
Da das Systzem aber eh Invariant gegen verschiebungen von beiden Koordinaten um den seleben Betrag ist, ist das egal.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

@sax: Sach' mal, stimmt das jetzt noch mit dem Vorzeichen, bei Deinem letzten Gleichungssystem? Dann wäre ja die Beschleunigung der beiden in die selbe Richtung. Muß die nicht entgegengesetzt sein?
So ganz genau habe ich Deine Rechnung nicht gelesen, also bitte nicht schlagen, wenn ich gerade Schwachsinn geschrieben habe.

Der Trick ist nachher aber wirklich, das ganze in ein Schwerpunktsystem zu transformieren. Dann entkoppeln nämlich die DGL und es werden zu einfachen DGLs für jeweils ein harmonisches Pendel.

Gruß
Marco

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Mmh, DGL's hatte ich mit bisher nur etwas abstrakt angeguckt. Mit "entkoppeln" hatte ich noch nichts am Hut.
Aber dass du den Koordinatenursprung in den Anfang von l_0 rückst, kann ich nachvollziehen. Ich dachte, die Tilde wär was "schlimmeres"-

Ach nochwas:
Statt m*a hat man dann ja m*x'' alias m*d²x/dt² (bin zu faul zum TeXen) stehen. Wenn man das entsprechend der Regeln für DGls 2. Ordnung "verarbeitet", erhält man ja dann eine Abhängigkeit der Ortskoordinate von der Zeit, der Federkonstante und 2 Integrationskonstanten. Eine ist sicher die Ruhelagenkoordinate des Systems, aber was wäre die andere? So sinngemäß die Ausgangsstauchung der Feder? Denn die wäre ja irgendwie auch als Ausgangbedingung wichtig, oder?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Das ist ja ein System von DGLs, weil zwei davon. Entkoppeln bedeutet, dass man das System in zwei unabhängige DGLs überführt, die man dann ganz normal lösen kann (die sehen dann eben so aus, wie die für einen harmonischen Oszillator in diesem Fall). Sonst wird's sehr schwierig das hier zu lösen, glaube ich.
So weit ich das sehe hast Du sogar vier freie Konstanten. Das entspricht jeweils der Anfangsposition und Geschwindigkeit der beiden Körper, also 2*2 Parameter. (Du integrierst ja quasi zweimal jede der beiden Gleichungen und dann fällt eine Konstante für x0 und v0 raus, nur mal grob jetzt...).

Gruß
Marco

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich glaube, wir sollten hier ein bisschen aufpassen, dass wir nicht am Threadersteller vorbeireden.

Mich interessiert immer noch, was joerg.schad zu dem Tipp ganz am Anfang sagt, und ob er damit schon etwas anfangen kann.

Sollten ihm Dinge wie das Transformieren in den Schwerpunkt oder das elegante Substituieren als zu kompliziert vorkommen, dann kann ich beruhigend sagen: Das alles kann man zwar machen (um das Ergebnis am Ende noch "schöner", "übersichtlicher" oder "symmetrischer" aussehen zu lassen), aber nötig, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, ist das nicht smile

.

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

@as_string
Hast recht, das vorzeichen ist falsch.
Enkoppeln tut das System noch nicht, es sind ja immer noch zwei gekoppelte DGL's. Um die zu entkoppenln muß man noch normalmoden einführen. Aber das geht dann wahrscheinlich wirklich zu weit.