Auranofin
Anmeldungsdatum: 23.09.2019
Beiträge: 4
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 Auranofin Verfasst am: 23. Sep 2019 12:13 Titel: Beheizter Zylinder - Thermische Ausdehnung |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine einfaches Szenario aufgesetzt, das sich aber als komplizierter herausstellte, als ich erst dachte. Es geht um die thermische Ausdehnung einer Flüssigkeit in einem beheizbaren Zylinder mit linearem Temperaturgradienten nach oben:
Ein (unbegrenzt hoher) senkrechter Zylinder (Querschnittsfläche  ) ist in einem Ofen platziert, der so gestaltet ist, dass er nach oben hin immer heißer wird; die Temperatur  nimmt linear mit der Höhe  zu: Am Boden ( ) herrscht die Temperatur  , und mit steigender Höhe steigt die Temperatur mit der Rate  an.
Der Zylinder wird, bei abgeschaltetem Ofen, bei der Temperatur mit einer Flüssigkeit befüllt, die ein Volumen von  einnimmt. Die thermische Ausdehnung der Flüssigkeit kann näherungsweise durch , \gamma=\text{const.}) beschrieben werden.
Im Anschluss wird der Ofen angeschaltet. Der Zylinder ändere seine Form nicht, es dehne sich nur die Flüssigkeit aus. Verdampfung sei ausgeschlossen. Die vom Ofen vorgegebene Temperatur sei im Endzustand auf jeder Höhe realisiert (das ) -Profil des Ofens wird also perfekt realisiert).
Wie hoch steht die Flüssigkeit im Endzustand?
Meine Ideen:
Es treten zwei Effekte auf: Durch die Erwärmung dehnt sich die Flüssigkeit aus. Dadurch erreicht sie aber höhere Bereiche des Zylinders/Ofens, in denen es wärmer ist als weiter unten. Dies sorgt für eine zusätzliche Ausdehnung, die die Flüssigkeit teilweise in noch heißere Gebiete bringt etc.
Ich glaube, dass für einen ausreichend kleinen thermischen Ausdehnungskoeffizienten  oder einen ausreichend kleinen Temperaturgradienten  ein endlicher Füllstand erreicht wird, aber ich kann keinen entsprechenden Ausdruck finden.
Meine Idee bestand darin, die Flüssigkeit erstmal komplett auf die Temperatur an ihrem Meniskus zu erwärmen (wenn am Boden bspw. 20 °C als herrschen und die Flüssigkeit als den Zylinder bis zur 30-°C-Marke auffüllt, erhitze ich also erstmal die ganze Flüssigkeit auf 30 °C). Das zusätzlich dadurch gewonnene Volumenelement erwärme ich dann auf die Temperatur an dessen Meniskus (wenn ich bspw. 10 % mehr Volumen bekommen habe, dann erhitze ich diese neuen oberen 10 % auf die Temperaturmarke am neuen Füllstand), und das daraus gewonnene Volumenelement wieder etc. Daraus erhalte ich eine Reihe für das Endvolumen, nämlich die Summe aus dem Startvolumen und allen neuen Volumenelementen.
Das Temperaturprofil der Flüssigkeit wäre so aber noch diskontiuerlich (bspw. ein Block mit 30 °C, dann ein kleinerer Block mit 35 °C, dann ein noch kleinerer mit 36,25 °C etc.). Um zu einer kontinuierlicheren Temperaturverteilung überzugehen, wiederhole ich das Vorgehen, aber diesmal erstmal nur mit der Hälfte des Startvolumens. Wenn ich das wie oben auskonvergiert habe, gebe ich die zweite Hälfte darauf, die ich vorher auf die Temperatur des Meniskus der auskonvergierten ersten Hälfte vorgeheizt habe (wenn ich also bspw. insgesamt 100 Liter als habe, gebe ich erstmal 50 Liter rein. Wenn das nach obiger Rechnung am Ende bspw. bis zur 28-°C-Marke reicht, dann heize ich die restlichen 50 Liter erstmal auf 28 °C vor und gebe sie dann auch in den Zylinder). Jetzt konvergiere ich auch die zweite Hälfte aus (die erste lasse ich einfach als additive Konstante im Zylinder drin).
Das wahre Volumen mit kontinuierlicher Temperaturverteilung sollte ich dann als Grenzwert dieser Prozedur erhalten, wenn ich unendlich oft einen unendlich kleinen Teil des Startvolumens vorheize, in den Zylinder (auf die schon vorhandenen Volumenelemente) gebe und auskonvergiere. Aber ich habe es noch nicht geschafft, den Grenzwert dieser Summe zu bestimmen (oder auch nur Konvergenzkriterien zu bestimmen).
Aber vielleicht denke ich viel zu kompliziert, vielleicht tut es ja auch eine simplere Integration, die ich nicht sehe... |
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