Geschwindigkeit bei unregelmässigen Gefällen

Erich · Anmeldungsdatum: 19.08.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo miteinander

Ich baue mit einem 3D-Drucker eine ?Chügelibahn? (Murmalbahn). Die Schienen, auf denen die 6-mm-Stahlkugel fährt, haben in der Ebene eine runde, ovale oder gerade Form. Das Gefäll ist manchmal konstant, manchmal unregelmässig (zB folgt es einer Cosinus-Kurve).

Mit zunehmendem Höhenunterschied werden die Kugeln schneller, so dass sie wegen der Zentrifugalkraft aus der Schiene zu fliegen beginnen. Ich möchte deshalb wie bei einer Achterbahn eine Neigung gegen das Zentrum einbauen ? und diese Neigung vor dem Bau berechnen oder mindestens schätzen können.

Nun gibt es Wege, um v bei konstantem Gefälle zu berechnen, aber keine Formel oder Anleitung, wie die Geschwindigkeit im Voraus ohne eine Zeitangabe berechnet werden kann.

Wie kann ich bei veränderlichen Gefällen und Formen v berechnen?

Meine Ideen:
In der Not habe ich die Zeit in den 5 fertiggstellten, unterschiedlichen Stücken gemessen, v berechnet und eine lineare Regression erstellt.
Das Ergebnis:

v = h* 1.14-0.065 mm/sec

Hier ist v die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke. Um v an einem Punkt zu erhalten, muss sie mit 2 multipliziert werden.

V(p) = ((h*1.14-0.065)*2)

V(p) = Geschwindigkeit an jedem Punkt, wenn h bekannt ist

Nun endlich meine Fragen:
a) Stimmen diese Überlegungen? Ist dieser statistische Ansatz sinnvoll für eine Praktikerformel?
b) Gibt es wirklich keine ?strenge? physikalische Formel für die Schätzung von v bei unregelmässigen Gefällen und Formen, wenn die Zeit unbekannt ist?
c) Spielt die Masse für die Neigung keine Rolle (sie wäre etwa 1 Gramm pro Kugel)?
d) Andere Ideen, um die Geschwindigkeit im Voraus zu berechnen?

Danke für alle Berichtigungen und Hinweise
Erich

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

Ohne Reibung würde die Geschwindigkeit nur von der Höhe abhängen, denn die Gesamtenergie (kinetische und potentielle) muss konstant sein. Es gilt also

Wird die Kugel bei h=h0 mit der Anfangsgeschwindigkeit v0=0 gestartet, so wird

oder

Wie gesagt, das gilt natürlich nur theoretisch im Fall ohne Reibung. Mit Rollreibung wird es komplizierter, dann hängt die Geschwindigkeit auch von der zurückgelegten Strecke ab. Wahrscheinlich ist es dann wirklich praktikabler, die Geschwindigkeiten einfach zu messen.

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Das problem ist die nur ungenau bekannte Reibung.
Wenn keine Reibung vorhanden wäre, könnte man die Energiegleichung ansetzen:
Gewonnene Energie E1 = m * g * h
Bewegungsenergie in der Kugel = lin Bewegungsenergie + Rotationsenergie
E2 = mv²/2 + I * w²/2 ... mit w = v / r
E2 = m v²/2 + 2/5 m r² * (v²/r_eff²)/2
gleichsetzen
m * g * h = m v²/2 * (1 + 2/5 r²/r_eff²) ... m kürzt sich
v = Wurzel ( g * h / (1/2 + 1/5 r²/r_eff²)
wobei r_eff der senkrechte Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und der Verbindungslinie der beiden Rollpunkte ist.

Einverstanden, Erich?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5852

@isi1: Ja, stimmt, die Rotationsenergie hatte ich vergessen!