Fehlerfortpflanzung - 3 Gleichungen 3 Unbekannte

Ilo995 · Anmeldungsdatum: 18.07.2019 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem:
Ich möchte den Mittelpunkt eines Kreises mit drei Punkten bestimmen. Hierfür habe ich die Punkte (x1/y1), (x2/y2), (x3/y3). Die Punkte werden mit einem Sensor und einer Genauigkeit von +- 100 µm gemessen.
Ist es möglich die Genauigkeit des Mittelpunktes mittels Fehlerfortpflanzung zu berechnen?

Vielen Dank euch schon mal.

Viele Grüße
Oliver

Meine Ideen:
Leider fehlt mir der Ansatz:
A + B(-x1) + C(-y1) = -(x1^2 + y1^2)
A + B(-x2) + C(-y2) = -(x2^2 + y2^2)
A + B(-x3) + C(-y3) = -(x3^2 + y3^2)
Mit A:= xm^2 + ym^2 - r^2, B:= 2·xm und C:= 2·ym
Mit diesen drei Gleichungen kann ich die Koordinaten des Mittelpunktes (xm/ym) berechnen. Leider weiß ich nicht, wie ich mit drei Gleichungen eine Fehlerfortpflanzung durchführen soll.

autor237 · Anmeldungsdatum: 31.08.2016 Beiträge: 509

Ja, man kann die Unsicherheit des Mittelpunktes mittels Fehlerfortpflanzung berechnen, aber das wird recht aufwendig. In diesem Fall, wäre es wohl einfacher die Unsicherheit aus der Differenz des maximalen und minimalen Wertes zu ermitteln.
Aber zunächst musst du ja die Mittelpunktskoordinaten richtig ermitteln. Dazu gehst du ja von der Kreisgleichung aus:

Diese formst du zu:

um und setzt r^2-x_m^2-y_m^2 als die dritte unbekannte Variable (z.B. mit a abgekürzt) neben x_m und y_m an. Dann hast du ein lineares Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

gast002 · Gast

Hallo Ilo995,

den Vorschlag, die Unsicherheit der Mittelpunktskoordinaten aus einer Differenz von minimalen und maximalen Werten abzuschätzen, halte ich für gefährlich, da im Ausdruck für

und

durch Differenzen geteilt wird. Wenn so eine Differenz einen Wert nahe bei Null hat, kann der Fehler sehr groß werden, was man mit der Abschätzung nicht unbedingt mitbekommt.

Du kannst eine richtige Fehlerfortpflanzungsrechnung durchführen, indem Du das Gleichungssystem löst (Inverse der Matrix bestimmen und dann beide Seiten der Gleichung mit dieser Inversen multiplizieren). Das ergibt explizite Ausdrücke für A, B und C. An den Ausdrücken für B und C führst Du die übliche Rechnung zur Fehlerfortpflanzung durch, um die Unsicherheit für

bzw.

zu erhalten.

Die Rechnung ist sicher etwas aufwendig, schreibtechnisch. Es ist aber die sicherste Methode, um festzustellen, wann die relative Lage der drei Punkte ungünstig gewählt ist und dadurch der Fehler des Mittelpunkts groß wird.

Beste Grüße