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kleinesKorollar-
Anmeldungsdatum: 20.04.2019
Beiträge: 1
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 kleinesKorollar- Verfasst am: 20. Apr 2019 19:45 Titel: Teilchen fällt von Kugel |
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Meine Frage:
Ich soll eine Aufgabe lösen und komme leider nicht mehr weiter, ich würde mich sehr über eine Hilfestellung (bitte nicht die Lösung gleich posten) freuen.
Aufgabe:
Ein Teilchen der Masse m liege auf dem ?Nordpol? einer reibungslos glatten Kugel mit dem Radius R.
Nach kleiner Auslenkung gleite es an der Kugel ab. Bei welchem Winkel phi löst es sich von der Kugel und wie groß ist in diesem Moment seine Geschwindigkeit v?
Meine Ideen:
Es wirkt die Hangabtriebskraft tangential, als Komponente der Schwerkraft:
 )
Als Kraftansatz habe ich dann:
 )
Dann habe ich die Beschleunigung in Polarkoordinaten eingesetzt:
 = -mg \cdot cos(\phi) )
Es gilt hier r = R und  :
 )
Es steht hier unter der Aufgabe der Hinweis, dass man die Gleichung mit  multiplizieren soll und dann integrieren soll. Jedoch weiß ich nicht, wie man das hier machen soll, da das sich ja wiederauskürzt und ich immer noch ein  in der Gleichung habe.
Eine weitere Überlegung: Das Teilchen löst sich dann von der Kugel, wenn sich die Normalkraft und die Zentrifugalkraft für das Teilchen gleichen.
 = \frac{m \cdot v^2}{R} )
Kürzen und einsetzen von 
 = \omega^2 \cdot R )
Nach phi aufgelöst:
 )
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Apr 2019 22:35 Titel: Re: Teilchen fällt von Kugel |
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Willkommen im Forum kleinesKorollar-!
Ich würde mir erstmal die Stelle ansehen / skizzieren, wo der Körper beginnt sich von der Kugel zu lösen, wo also die resultierende Kraft senkrecht zur Kugeloberfläche null ist. Und erst danach losrechnen: Welche Koordinaten benutze ich (bei Dir die geographische Breite) usw. Es darf übrigens vermutet werden, daß das (bei Startgeschwindigkeit null) bei einem festen Winkel passiert.
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kleinesKorollar
Anmeldungsdatum: 21.03.2019
Beiträge: 19
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Apr 2019 01:06 Titel: |
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Die Hangabtriebskraft spielt hier keine Rolle - weglassen. Dann einzeichnen, wo der Winkel  bei den Kraftvektoren noch auftritt. Dann  und  aufschreiben, wobei  auftaucht. Dafür jetzt den Energiesatz... 
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kleinesKorollar
Anmeldungsdatum: 21.03.2019
Beiträge: 19
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| kleinesKorollar Verfasst am: 21. Apr 2019 01:40 Titel: |
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Wieso spielt die Hangabtriebskraft als Tangentialkomponente der Schwerkraft hier keine Rolle?
Der Winkel  taucht nochmal zwischen  und  auf.
Jetzt  (hab ich doch bereits im ersten Post getan):
Meinst du mit Energiesatz die Energieerhaltung, also das  gilt?
wobei  \cdot R ) (wenn man die obere Kugelhälfte betrachtet, was ausreichen sollte), dann folgt:
 \cdot R )
Wenn ich das jetzt für  einsetze, dann kürzt sich fast alles weg und es steht -1 = 2 da, was natürlich nicht sein sollte.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Apr 2019 09:45 Titel: |
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| Zitat: | | Wieso spielt die Hangabtriebskraft als Tangentialkomponente der Schwerkraft hier keine Rolle? |
Diese Kraft ist quasi für die Vorwärtsbewegung auf der Kugel bis zum Moment des Ablösens zuständig. Für das Ablösen selber ist F_Z = F_N erforderlich. Ähnlich vielleicht wie beim Skispringen: Wenn Du "schwebst", wirkt bloß noch die Schwerkraft.
| Zitat: | |
Wieso ein negativer Winkel?
| Zitat: | | Energieerhaltung, also das |
Das ist nicht der Energiesatz.
| Zitat: | |
Was ist eigentlich h? Mach vielleicht eine neue Skizze mit \phi und h.
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kleinesKorollar
Anmeldungsdatum: 21.03.2019
Beiträge: 19
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| kleinesKorollar Verfasst am: 21. Apr 2019 10:25 Titel: |
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Ok, deshalb brauche ich doch die Hangabtriebskraft, um die Geschwindigkeit im Ablösepunkt zu bestimmen.
Es sollte kein negativer Winkel sein, sondern die Richtung des Vektors, ich habe beim Aufschreiben vergessen, dass sich ja nur die Beträge gleichen müssen. Also das Minus bitte einmal streichen.
Wenn es nicht der Energiesatz ist, kannst du mir bitte schreiben, was du unter dem Engeriesatz verstehst, sonst ist es schwer für mich weiter zu kommen.
h ist bei mir die y-Komponente des kartesischen Koordinatensystems des Teilchens auf der oberen Halbkugel.
Vielen Dank für deine bisherherige Hilfe!
Kannst du mir bitte kurz schildern, auf was du hinaus willst, weil es mir gerade ein bisschen so vorkommt, als würde ich auf der Stelle tappen.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 21. Apr 2019 13:29 Titel: |
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Es ist schwer verständlich, weshalb es dir nicht gelingt, mit den Hilfestellungen von franz zu der Lösung zu gelangen. Sollte er deshalb einen Strick genommen und sich damit erschossen haben, musst du auf ewig mit dieser Schuld leben. 
Es sei der Winkel in deiner Zeichnung. Die vertikale y-Achse habe ihren Ursprung im Mittelpunkt der Kugel. Dann ist die vertikale Position des Massenpunktes gegeben durch
=R \sin \Phi)
Im obersten Punkt der Kugel hat man
=R)
Der Höhenunterschied zwischen dem obersten Punkt und der Höhe an der Position ist also:
)
Das entspricht einer Änderung der potentiellen Energie von
)
Um den gleichen Betrag muss sich die kinetische Energie geändert haben. Da die kinetische Energie in der obersten Position Null sein soll, bedeutet das
=\frac m 2 v^2=\Delta E_{pot}=mg\Delta y=mgR(1-\sin \Phi))
)
Damit eine Masse  sich mit der Geschwindigkeit  auf einer Kreisbahn mit Radius  bewgt, bedarf es einer Zentripetalkraft
Diese Zentripetalkraft muss von der zur Kugeloberfläche senkrechten Komponente der Gravitationskraft aufgebracht werden, nämlich
Aus  ergibt sich
=\sin \Phi)
Jetzt solltest du noch mal sehr selbstkritisch überlegen, weshalb du trotz aller Hinweise von franz nicht zu der Lösung gekommen bist.
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kleinesKorollar
Anmeldungsdatum: 21.03.2019
Beiträge: 19
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| kleinesKorollar Verfasst am: 21. Apr 2019 19:04 Titel: |
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Vielen Franz und Huggy für eure Hilfe!
An Huggy: Jeder fängt mal klein an und Mühe hab ich mir offensichtlich gegeben, weshalb ich jetzt keinen Grund zur Selbstzweifel habe ;)
Als Tipp wäre für mich jetzt im Nachhinein hilfreich gewesen, wenn ich gewusste hätte, dass ich die Energieänderung bezogen auf den Startpunkt betrachten soll.
Ich habe jetzt für einen Winkel von 41,81 grad raus, habe also mit meiner Schätzung ziemlich daneben gelegen, und für  .
Das war vermutlich der deutlich einfachere Weg, wenn ich aber jetzt den Weg mit der Bewegungsgleichung für das Teilchen nehmen möchte, wie würde ich hier weitermachen (unter der Aufgabe war, wie bereits erwähnt, der Tipp mit zu multiplizieren, wobei ich aber nicht weiß, was mir das weiterhelfen soll)?
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Apr 2019 19:36 Titel: |
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| kleinesKorollar hat Folgendes geschrieben: | | Als Tipp wäre für mich jetzt im Nachhinein hilfreich gewesen, wenn ich gewusste hätte, dass ich die Energieänderung bezogen auf den Startpunkt betrachten soll. |
Man kennt die Energie am Startpunkt und deshalb ist der Bezug darauf naheliegend.
Der Ablösewinkel  und der Ausdruck für die Geschwindigkeit nach ;\ h=R \sin\phi) sind bekannt und damit ist die Frage meines Erachtens abgeschlossen.
Weitergehend könnte man sich generell die Bewegung auf einer Kugelfläche im Schwerefeld interessieren, aber das wäre ein neues Thema.
Zuletzt bearbeitet von franz am 22. Apr 2019 01:06, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5863
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 21. Apr 2019 19:40 Titel: |
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Zum Verständnis derartiger Aufgabenstellungen:
Überlege mal, bei welchem Winkel sich die Kugel ablöst, wenn sie rollt.
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 22. Apr 2019 09:11 Titel: |
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| kleinesKorollar hat Folgendes geschrieben: |
Ich habe jetzt für einen Winkel von 41,81 grad raus, |
Obwohl in der Aufgabe nur nach dem Winkel gefragt ist, könnte man noch die zugehörige y-Koordinate  des Massenpunktes bei der Ablösung angeben:
| Zitat: | | Das war vermutlich der deutlich einfachere Weg, wenn ich aber jetzt den Weg mit der Bewegungsgleichung für das Teilchen nehmen möchte, wie würde ich hier weitermachen (unter der Aufgabe war, wie bereits erwähnt, der Tipp mit zu multiplizieren, wobei ich aber nicht weiß, was mir das weiterhelfen soll)? |
Wenn man eine DGL der Form
)
hat, wobei ) eine Stammfunktion von ) sei, dann kann man die DGL nach Multiplikation mit  mittels der Kettenregel wie folgt umschreiben:
 \dot x)
= \frac {d}{dt}F(x))
 \right )=0)
=c)
Das ist ein nützlicher Trick, um eine erste Integration der DGL zu bekommen. In physikalischen Zusammenhängen entspricht das aber meistens einfach der Energieerhaltung. ist die negative potentielle Energie. Es ist dann kürzer, gleich die Energieerhaltung anzusetzen.
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