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mischmi
Anmeldungsdatum: 20.11.2018
Beiträge: 5
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 mischmi Verfasst am: 20. Nov 2018 11:31 Titel: Maxwell-Boltzmann Verteilung falsch? |
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Hallo
Ich glaube, die bekannte Maxwell-Boltzmann Formel für die Verteilung der Geschwindigkeiten (der Beträge) der Form {\propto}V^2e^{-V^2}$ ) ist falsch.
(Einheiten und Konstanten erst mal ignoriert, nur die prinzipielle "Form" betrachtet, sorry für diese Vereinfachung)
Korrekt imho ist {\propto}Ve^{-V^2}$ ) (Plot 2), denn:
mit =e^{-E} ) nach Boltzmann
und 
ermitteln wir  ) , wobei V==|V|, der Geschwindigkeitsbetrag ist, skalar.
Entsprechend eingesetzt \mathit{dV}$)
ist es doch ........(1)
Das ist auch einfach und plausibel, ist aber keine übliche MB-Verteilung! Die Energieverteilung nach Boltzmann ist ja allgemeingültig, und gleich für Partikelbewegungen in 1D, 2D, 3D. Unterschiedlich sind jedoch die Verteilungsdichten der Geschwindigkeitskomponenten bei Betrachtung als 1D, 2D, 3D ( Vx, Vy, Vz).
Analytisch habe ich erst mal nicht alles hingekriegt, in Simulation sind aber die Verteilungen soweit plausibel:
Willkommen im Physikerboard!
Ich habe das Bild aus dem externen Link geholt und als Anhang abgespeichert. Bitte benutze keine solchen Links, die sind irgendwann ungültig.
Viele Grüße
Steffen
Plot 1 Energieverteilung, nach Boltzmann
Plot 2 Geschwindigkeitsverteilung als  ; ist nicht wie Maxwell-Boltzmann!
Plot 3 eine Geschwindigkeitskomponente für 2D(Billardtisch), entspr. Formel (1)
Plot 4 Gegenprobe: Energie 
Plot 5 eine Geschwindigkeitskomponente im 3D Modell
Plot 6 Gegenprobe: Energie  ; – nicht die Boltzmann -Energieverteilung !!
Allem Anschein nach ist die allgegenwärtige (seit Maxwell 1860) Annahme falsch, dass die Geschwindigkeitsverteilung(en) der 3DKomponenten (xyz) – die Gauss-Verteilungen wären. Gaussverteilung ist nur für 2D korrekt.
????!!!!
mfg
ein alter Ingenieur
| Beschreibung: |
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willyengland
Anmeldungsdatum: 01.05.2016
Beiträge: 677
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| willyengland Verfasst am: 20. Nov 2018 12:30 Titel: |
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Es sieht so aus, als wenn du Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichte durcheinandergebracht hast.
_________________
Gruß Willy |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Nov 2018 15:05 Titel: Re: Maxwell-Boltzmann Verteilung falsch? |
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| mischmi hat Folgendes geschrieben: | Hallo
Ich glaube, die bekannte Maxwell-Boltzmann Formel für die Verteilung der Geschwindigkeiten (der Beträge) der Form ist falsch.
(Einheiten und Konstanten erst mal ignoriert, nur die prinzipielle "Form" betrachtet, sorry für diese Vereinfachung)
Korrekt imho ist (Plot 2), denn:
mit nach Boltzmann
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Das ist bereits falsch. Der Boltzmann-Faktor  ist nicht proportional zur Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen einer bestimmten Energie E, sondern proportional zur Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen eines bestimmten Mikrozustandes mit dieser Energie. Davon gibt es aber viele, und deren Wahrscheinlichkeiten mußt du alle addieren, wenn du \dd E) erhalten willst. Oder du multiplizierst den Boltzmannfaktor mit der Zustandsdichte =\text{Maß aller Zustände mit Energie } E) (was möglich ist, da die Wahrscheinlichkeit jedes Mikrozustands wiederum nur von seiner Energie abhängt). Korrekt lautet deine Ausgangsgleichung also
\dd E = g(E)e^{-E/T}\dd E.)
Wieviele mögliche Zustände kann ein einzelnes freies Teilchen mit fester Energie E einnnehmen? Genauso viele wie auf der Oberfläche der "Energiekugel"
liegen. Es ist also gerade
\propto \sqrt{E}.)
Damit folgt dann
\dd E \propto \sqrt{E}e^{-E/T}\dd E \propto v^2e^{-mv^2/2T} \dd v)
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Nov 2018 16:08 Titel: Re: Maxwell-Boltzmann Verteilung falsch? |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Es ist also gerade
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Mir ist gerade aufgefallen, daß dies aus meiner Definition von ) vielleicht nicht ganz offensichtlich ist. Deshalb noch ein bißchen ausführlicher, wenn auch heuristisch. Wir wollen wissen "wie viele Zustände" eines freien Teilchens die Energie E haben. Die naive Antwort "unendlich viele" ist natürlich nicht besonders hilfreich. Was hilfreich und möglich ist, ist einer Menge von Zuständen ein Volumenmaß zuzuordnen. Wenn, wie hier, der Zustand durch die Menge der Geschwindigkeitskomponenten gegeben ist, erhält man so ein Maß durch Integration des Volumenelements im Geschwindigkeitsraum
 .
Die Zustände mit  befinden sich also im Inneren einer Kugel mit Maß (Volumen)
Die Änderung dieses Volumens mit der Energie ergibt das Maß (Fläche) der Zustände auf einem festen Energieniveau, d.h.
=\text{Fläche}=\frac{\partial\text{Volumen}}{\partial E} \propto \sqrt{E})
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mischmi_
Gast
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| mischmi_ Verfasst am: 20. Nov 2018 18:27 Titel: Danke und Zusatzfragen |
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Danke Steffen. Ich muss mal schauen, wie das richtig geht. (habe wohl eine alte Anleitung erwischt; es wäre so richtig, ginge nicht anders, und habe gedacht/gehofft es würde dann nach "abschicken" automatisch eingefügt)
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Danke index_razor für deine Mühe und die ausführliche Antwort. Toll!
Habe mich jetzt noch nicht im Detail befasst, es sieht aber so gut aus, dass mich das sicher "entwirrt".
Zusatzfragen hätte ich dennoch (vielleicht wären die später hinfällig):
Wenn ich ideales Gas im Behäter habe, dann ist die Gesamtenergie fix, d.h. alle Mikrozustände haben die gleiche Energie.(?)
Dann: kann ich den Behälter als Wärmebad für die einzelnen Partikel betrachten,
und jedes Patrikel als Teilsystem im Ensamble? Dann wären die Microzustände auf Energien einzelner Partikel reduziert?
Verwirrung 2: Im Wärmebad im therm. Gleichgewicht sind die Energiefluktuationen doch minimal. Kann man diese nicht vernachlässigen, und alle Microzustände wie oben, wie im Behälter, behandeln?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Nov 2018 08:02 Titel: Re: Danke und Zusatzfragen |
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| mischmi_ hat Folgendes geschrieben: |
Zusatzfragen hätte ich dennoch (vielleicht wären die später hinfällig):
Wenn ich ideales Gas im Behäter habe, dann ist die Gesamtenergie fix, d.h. alle Mikrozustände haben die gleiche Energie.(?)
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Ja, wenn das System keine Energie mit seiner Umgebung austauschen kann, dann besitzen alle Mikrozustände, die es annehmen kann, dieselbe Energie. Das ist nichts anderes als eine umständliche Formulierung des Energieerhaltungssatzes.
| Zitat: |
Dann: kann ich den Behälter als Wärmebad für die einzelnen Partikel betrachten,
und jedes Patrikel als Teilsystem im Ensamble?
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Du kannst sicher den Rest des Gases als Wärmebad für ein einzelnes Teilchen betrachten, wenn sich viele Teilchen im Behälter befinden. Darauf beruht ja mehr oder weniger die Ableitung der Geschwindigkeitsverteilung.
| Zitat: |
Dann wären die Microzustände auf Energien einzelner Partikel reduziert?
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Nein, nicht unbedingt. Vielleicht sollten wir mal klären, ob wir dasselbe unter "Mikrozustand" verstehen. Für ein System aus klassischen Teilchen handelt es sich dabei einfach um die Angabe alle Ortskoordinaten und Geschwindigkeitskomponenten. Die Energie eines einzelnen Teilchens hängt also folgendermaßen von seinem Mikrozustand ab
 +V(x,y,z).)
Daran siehst du sofort, daß ein Teilchen, welches sich am Ort x,y,z, in x-Richtung bewegt, dieselbe Energie hat wie eines, das sich mit demselben Betrag der Geschwindigkeit und am selben Ort in y-Richtung bewegt. obwohl beide einen anderen Mikrozustand haben. Man kann die statistische Verteilung der Mikrozustände also nicht mit der statistischen Verteilung der Energiewerte identifizieren.
| Zitat: |
Verwirrung 2: Im Wärmebad im therm. Gleichgewicht sind die Energiefluktuationen doch minimal. Kann man diese nicht vernachlässigen, und alle Microzustände wie oben, wie im Behälter, behandeln? |
Was heißt "alle Mikrozustände wie oben im Behälter behandeln"? Wie genau willst du sie denn behandeln?
Und meinst du mit "minimal" einfach "sehr klein"? Dann gilt dies im allgemeinen nur im thermodynamischen Grenzwert  , wobei N die Teilchenzahl des Systems ist, dessen Fluktuationen du betrachtest. Die Daumenregel für die relative Größe der Schwankungen ist  . Unter diesen Voraussetzungen ist tatsächlich egal, ob du dein System als abgeschlossen mit fester Energie (mikrokanonisch) oder angeschlossen an ein Wärmebad mit konstanter Temperatur (kanonisch) betrachtest. In makroskopischen Systemen ist der relative Fehler, den du damit begehst von der Größenordnung eines Millionstel-Millionstels ( .) Wenn dein System nur aus einem Teilchen besteht ist das aber im allgemeinen nicht dasselbe.
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mischmi
Anmeldungsdatum: 20.11.2018
Beiträge: 5
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| mischmi Verfasst am: 21. Nov 2018 09:29 Titel: nachgelegt: Simulation |
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Hallo index_razor und DANKE 
Ich muss doch noch nachlegen: meine Simulation, die sich verhält - wie sie sich eben verhält... ' '
Wenn ich 100 Töpfe habe und anfänglich in jedem Topf 100 Murmeln.
Dann lasse ich die Murmeln zufällig zwischen den Töpfen hin und her springen, und mache eine Langzeitstatistik, Verteilung der Anzahl der Murmeln/Topf. Ich nehme jeweils 1, oder mehrere Töpfe, oder alle gleichzeitig für eine Probe, sollte egal sein. Hauptsache ich warte zwischen den Probenahmen, dass sich ein neuer, zufälliger, halbwegs statistisch unabhängiger Zustand einstellt.
Oder ich wiederhole den Aufbau milionenfach, mache eine Momentaufnahme, und schaue welche Verteilung am häufigsten vorkommt.
Sind wir uns einig, dass die Ergebnisse gleichwertig sind? (ergodizität?)
Sind wir uns einig, dass das die Verteilungen der Form e^-x sind? (Boltzmann)
Kann ich nicht analogie zw. Murmeln und Partikelenergien ziehen?
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 21. Nov 2018 11:51 Titel: Re: nachgelegt: Simulation |
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| mischmi hat Folgendes geschrieben: |
Sind wir uns einig, dass die Ergebnisse gleichwertig sind? (ergodizität?)
Sind wir uns einig, dass das die Verteilungen der Form e^-x sind? (Boltzmann)
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Aus den gegebenen Informationen läßt sich das m.E. nicht mit Sicherheit sagen. Wenn x die Anzahl der Murmeln in einem Topf sein soll, deren Verteilung die Entropie bei gegebenem Mittelwert maximiert, dann stimmt es unter Umständen.
Ich verstehe allerdings gar nicht wozu diese Analogie gut sein soll. Zur Lösung deines ursprünglichen Problems mußt du nur verstehen, daß verschiedene Mikrozustände dieselbe Energie haben können. Das ist m.E. einfacher ohne Umwege über Analogieschlüsse zu verstehen. Und mit Ergodizität hat das ganze auch nicht viel zu tun.
| Zitat: |
Kann ich nicht analogie zw. Murmeln und Partikelenergien ziehen? |
Das weiß ich nicht. Die Frage ist mir zu unkonkret. Ich weiß aber, daß die Boltzmannverteilung  im allgemeinen -- und insbesondere bei klassischen Teilchen -- nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Energie angibt und warum nicht. Und wenn du gelesen hast, was ich weiter oben geschrieben habe, müßtest du es ja jetzt eigentlich auch wissen. Wenn deine Analogie zu anderen Schlüssen führt, dann stimmt sie nicht.
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mischmi
Anmeldungsdatum: 20.11.2018
Beiträge: 5
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| mischmi Verfasst am: 22. Nov 2018 08:33 Titel: kapiert |
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Das war auf den Punkt und alles sehr ausführlich.
Danke index_razor, auch für deine Geduld.
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