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finns
Anmeldungsdatum: 27.10.2018
Beiträge: 1
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 finns Verfasst am: 27. Okt 2018 20:38 Titel: Wie Helmholtzschen Zerlegungssatz herleiten |
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Meine Frage:
Hallo liebes Physikerboard,
ich muss den Helmholtzschen Zerlegungssatz für Vektorfelder herleiten.
Das habe ich auch weitestgehend geschafft. Es fehlt mir nur noch ein Rechenschritt, von dem ich aus der Literatur weiß, dass er gültig ist, aber leider keine Ahnung habe wieso. Es geht darum den Laplace Operator von dem Skalar  auf das Feld ) abzuwälzen:
 \Delta \phi \, \dd \nu = \int \! \phi \Delta \vec{V} (\vec{r}) \, \dd \nu)
Meine Ideen:
Mein einziger Ansatz bisher war die partielle Integration. Theoretisch müsste 2 malige partielle Integration den Laplace Operator auf das Vektorfeld anwenden. Jedoch löschen sich die Terme vor dem Integral nicht aus.
Ich glaube, dass mein Startpunkt für die partielle Integration die Form  \nabla\vec{V_2} (\vec{r}) \, \dd \nu ) hat. Ab hier komme ich nicht mehr weiter, sondern ziehe konstant Kreisschlüsse. Möglicherweise ist meine partielle Integration konstant falsch oder aber mein Ansatz ist von vornherein falsch oder ich übersehe etwas wichtiges.
Ich würde mich sehr über Ideen und Vorschläge freuen
Vielen Dank im Vorraus! |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 02. Nov 2018 13:13 Titel: Re: Wie Helmholtzschen Zerlegungssatz herleiten (Laplace Ope |
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| finns hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo liebes Physikerboard,
ich muss den Helmholtzschen Zerlegungssatz für Vektorfelder herleiten.
Das habe ich auch weitestgehend geschafft. Es fehlt mir nur noch ein Rechenschritt, von dem ich aus der Literatur weiß, dass er gültig ist, aber leider keine Ahnung habe wieso. Es geht darum den Laplace Operator von dem Skalar auf das Feld abzuwälzen:
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Handelt es sich hierbei um ein Volumenintegral über ein Vektorfeld? Sowas kann man m.E. nur interpretieren als 3 einzelne skalare Integrale über die kartesischen Komponenten, d.h. als
Dann kann die Aussage aber nicht ohne weiteres gelten. Wähle z.B.  = \|x\|^2) und  konstant. Dann verschwindet der rechte Integrand und der linke ist konstant und ungleich null. Da für mich gerade nicht offensichtlich ist, was dein Integral mit dem Helmholtz-Theorem zu tun hat, kann ich auch nicht sagen, ob mein Beispiel durch die Voraussetzungen des Theorems ausgeschlossen ist. Kannst du etwas mehr über deinen Ansatz verraten? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 02. Nov 2018 18:46 Titel: |
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In der Physik verschwinden immer(*) alle Felder ausreichend schnell im Unendlichen...
(*) Und die paar Male, wo die Randterme tatsächlich doch wichtig sind, erkennt man dann schon... |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Nov 2018 08:07 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | In der Physik verschwinden immer(*) alle Felder ausreichend schnell im Unendlichen...
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Stimmt, bei hinreichend schnellem Abfall gilt die Aussage (bei Integration über den gesamten Raum). Es stimmt aber nicht, daß "in der Physik" nur solche Situtationen und Felder eine Rolle spielen, für die diese Aussage erfüllt ist. (Siehe z.b. die Rolle der 2. Greenschen Formel in der Elektrostatik.) Was die Frage aufwirft, ob "schnell genug" für die Helmholtz-Zerlegung auch "genügend schnell" für den verwendeten Integralsatz ist. Wenn  die gesuchte Zerlegung ist, stimmen die Voraussetzungen wohl immerhin. Aber wie der Schluß von diesem Integralsatz auf die Helmholtz-Zerlegung aussieht, interessiert mich schon. Weißt du es?
| Zitat: |
(*) Und die paar Male, wo die Randterme tatsächlich doch wichtig sind, erkennt man dann schon... |
Und woran willst du hier erkannt haben, daß sie nicht wichtig sind? Es gab keine weitere Erklärung zu und  , außer daß sie irgendwie im Beweis des Helmholtzschen Zerlegungssatzes vorkommen. |
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