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Guest1
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 Guest1 Verfasst am: 04. Sep 2018 16:49 Titel: Geladener Stab - E-Feld |
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Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe lautet: (Elektrostatik, ein einfaches Problem)
Ein homogen geladener Stab auf der x-Achse von -x0 bis +x0 ist mit der Ladung +Q geladen.
Berechnen Sie das E-Feld auf der x-Achse des Stabes und vergleichen Sie dieses mit dem einer Punktladung bei x=0 für die Orte x = 2m und x = 20m durch  = \frac{Estabx}{Epunktladung} ) .
Meine Lösungen bisher (die erscheinen mir nicht gut):
Meine Ideen:
Gaußsches Volumen um den Stab legen (zylinderförmig, Symmetrieachse auf Stab (x-Achse)):
 \, \dd f = \varrho /\epsilon 0
<br />
)
Ich habe mich an dem E-Feld für den Stab entlang der eRho Richtung "entlanggehangelt", weil ich weiß, dass für das E-Feld in eRho Richtung des Stabes Folgendes gilt:
mit 
Also dachte ich mir, statt der Integrationsfläche des Zylindermantels beim E-Feld benutze ich eben die Deckfläche:
 \, \dd r \dd \varphi = \frac{Q}{\epsilon0}
<br />
) Hier das Integral von 0 nach 2 pi (wusste nicht, wie mit Latex das 2pi da hin bekommen) und von 0 bis r.
Also statt 0 bis 2pi und 0 bis L, wie man das für das Feld in eRho-Richtung macht.
Es kommt dann raus:
Das kann nicht stimmen, da dann das Verhältnis
4 ergibt....
Vielen Dank für Hilfe!!
MfG |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 04. Sep 2018 18:35 Titel: |
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Zuerst einmal: wo soll das E-Feld genau berechnet werden? „Auf der x-Achse des Stabes“ ergibt nicht viel Sinn. Soll das Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs berechnet werden? Auf dem Stab selber ist das E-Feld kaum endlich.
Der Ansatz mit dem Gaussschen Gesetz funktioniert nicht. Wieso sollte das Integral über die Deckflächen des Zylinders gleich  sein, die Mantelfläche liefert ja auch einen Beitrag? Das E-Feld nimmt radial auch nicht schön mit 1/r ab, da es sich nicht um einen unendlich langen Stab handelt.
Soll das E-Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs bestimmt werden, so kannst Du das Feld einfach über das Coulombgesetz und Integrieren berechnen. Aus Symmetriegründen ist das Feld dort sicher parallel zur x-Achse, und ein Element dx' liefert an der Stelle x mit  den Beitrag
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda dx'}{(x-x')^2})
Dann noch über den Stab integrieren. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 05. Sep 2018 10:27 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | ...
Soll das E-Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs bestimmt werden, so kannst Du das Feld einfach über das Coulombgesetz und Integrieren berechnen. Aus Symmetriegründen ist das Feld dort sicher parallel zur x-Achse, und ein Element dx' liefert an der Stelle x mit den Beitrag
Dann noch über den Stab integrieren. |
Ja, so ist das wohl gemeint. In der Aufgabenstellung fehlen allerdngs zwei Informationen:
1. Größe der Punktladung im Vergleich zur Ladung Q des Stabes (vermutlich soll sie genauso groß sein)
2. Größe von x0, denn für den Quotienten Estab/Epunkt wird für die beiden genannten Stellen x=2m und x=20m ja wohl jeweils ein Zahlenwert erwartet. Der kann aber nur errechnet werden, wenn für x0 ein Zahlenwert vorliegt (vielleicht x0=1m?) |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 05. Sep 2018 11:07 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Zuerst einmal: wo soll das E-Feld genau berechnet werden? „Auf der x-Achse des Stabes“ ergibt nicht viel Sinn. Soll das Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs berechnet werden? Auf dem Stab selber ist das E-Feld kaum endlich.
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Ja, außerhalb des Stabes:)
| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Der Ansatz mit dem Gaussschen Gesetz funktioniert nicht. Wieso sollte das Integral über die Deckflächen des Zylinders gleich sein, die Mantelfläche liefert ja auch einen Beitrag? Das E-Feld nimmt radial auch nicht schön mit 1/r ab, da es sich nicht um einen unendlich langen Stab handelt.
Soll das E-Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs bestimmt werden, so kannst Du das Feld einfach über das Coulombgesetz und Integrieren berechnen. Aus Symmetriegründen ist das Feld dort sicher parallel zur x-Achse, und ein Element dx' liefert an der Stelle x mit den Beitrag
Dann noch über den Stab integrieren. |
Okay, danke soweit! Könntest Du mir noch kurz erklären, wie du auf diesen Ansatz gekommen bist? Kann man aus Symmetriegründen den Stab mit der homogen verteilten Ladung, wie eine Punktladung im Ursprung betrachten? Das war nämlich auch ein bereits wieder verworfener Gedankengang meinerseits. |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 05. Sep 2018 11:12 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | ...
Soll das E-Feld auf der x-Achse ausserhalb des Stabs bestimmt werden, so kannst Du das Feld einfach über das Coulombgesetz und Integrieren berechnen. Aus Symmetriegründen ist das Feld dort sicher parallel zur x-Achse, und ein Element dx' liefert an der Stelle x mit den Beitrag
Dann noch über den Stab integrieren. |
Ja, so ist das wohl gemeint. In der Aufgabenstellung fehlen allerdngs zwei Informationen:
1. Größe der Punktladung im Vergleich zur Ladung Q des Stabes (vermutlich soll sie genauso groß sein)
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Also falls du den Beitrag des Vorrenders meinst: darauf kann ich leider nicht antworten;
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
2. Größe von x0, denn für den Quotienten Estab/Epunkt wird für die beiden genannten Stellen x=2m und x=20m ja wohl jeweils ein Zahlenwert erwartet. Der kann aber nur errechnet werden, wenn für x0 ein Zahlenwert vorliegt (vielleicht x0=1m?) |
x0 = 1m, danke für den Hinweis, habe ich vergessen:) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 05. Sep 2018 12:09 Titel: |
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| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | Also falls du den Beitrag des Vorrenders meinst: darauf kann ich leider nicht antworten; |
Nein, ich meinte das, was ich auch geschrieben habe:
| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | In der Aufgabenstellung fehlen allerdngs zwei Informationen: |
Das sollte Dich auffordern, im originalen Aufgabentext nachzuschauen, ob die Punktladung Q genauso groß ist wie die Stabladung. Selbst wenn das dort nicht explizit steht, ist wohl davon auszugehen. Sonst macht die ganze Aufgabe keinen Sinn. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 05. Sep 2018 12:26 Titel: |
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| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | Kann man aus Symmetriegründen den Stab mit der homogen verteilten Ladung, wie eine Punktladung im Ursprung betrachten? |
Genau das sollst Du in dieser Aufgabe untersuchen, indem Du das Feld der Stabladung mit dem Feld der Punktladung vergleichst, und zwar an zwei verschiedenen Stellen. Dabei wirst Du herausbekommen, dass in Stabnähe (x=2m) das Feld der Stabladung deutlich geringer (um 20% kleiner) als das der gleichgroßen Punktladung (im Ursprung) ist, in weiterer Entfernung (x=20m) dagegen kaum noch ein Unterschied besteht (nur noch 0,25%). |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 05. Sep 2018 13:22 Titel: |
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| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | Könntest Du mir noch kurz erklären, wie du auf diesen Ansatz gekommen bist? Kann man aus Symmetriegründen den Stab mit der homogen verteilten Ladung, wie eine Punktladung im Ursprung betrachten? |
Nicht wie eine Punktladung im Ursprung, aber das Feld der kleinen Stabladung  ist gleich dem Feld einer Punktladung an der Stelle  . Das Feld aller dieser „Punktladungen“ entlang des Stabes integriert man. Das geht aber nur auf der x-Achse so einfach, da hier das Feld aller betrachteten infinitesimalen Ladungen in dieselbe Richtung zeigt. Sonst käme noch ein Term dazu, der den Winkel des Feldes dE angibt.
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Dabei wirst Du herausbekommen, dass in Stabnähe (x=2m) das Feld der Stabladung deutlich geringer (um 20% kleiner)... |
Gefühlsmässig würde mich das wundern, denn bei einer Annäherung an ein Stabende muss das Feld stark zunehmen. Auch die Rechnung sollte etwas anderes ergeben, das E-Feld auf der x-Achse ist beim Stab höher als bei einer Punktladung im Ursprung. Für grosse Abstände nähert sich das E-Feld dem Feld einer Punktladung an.
PS: Auf der y-Achse wäre es natürlich andersrum, da ist das E-Feld des Stabs geringer. |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 05. Sep 2018 14:20 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | Also falls du den Beitrag des Vorrenders meinst: darauf kann ich leider nicht antworten; |
Nein, ich meinte das, was ich auch geschrieben habe:
| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | | In der Aufgabenstellung fehlen allerdngs zwei Informationen: |
Das sollte Dich auffordern, im originalen Aufgabentext nachzuschauen, ob die Punktladung Q genauso groß ist wie die Stabladung. Selbst wenn das dort nicht explizit steht, ist wohl davon auszugehen. Sonst macht die ganze Aufgabe keinen Sinn. |
Achso! In der Aufgabe ist gegeben, dass der Stab infinitissimal dünn ist, über die Größe der Ladung ist allerding nichts gegeben, ich gehe von einer Punktladung mit infinitissimalem Radius aus.  |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 05. Sep 2018 14:26 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Nicht wie eine Punktladung im Ursprung, aber das Feld der kleinen Stabladung ist gleich dem Feld einer Punktladung an der Stelle . Das Feld aller dieser „Punktladungen“ entlang des Stabes integriert man. Das geht aber nur auf der x-Achse so einfach, da hier das Feld aller betrachteten infinitesimalen Ladungen in dieselbe Richtung zeigt. Sonst käme noch ein Term dazu, der den Winkel des Feldes dE angibt. |
Aha, das macht Sinn, ganz umganssprachlich gesagt: "Man integriert Punktladungen über die x-Achse auf über die Länge x.
Und nochmal ganz blöd gefragt  :
Warum geht das mit Gauß und der Stirnseite eines Zylinders nicht?
Ein Tipp ist, dass es mit Integration geht, wobei mir als Erstes Gauß einfallen würde. Alle Voraussetzungen sind ja gegeben, also eine Ladungsverteilung mit einem Volumen (Zylinder) gaz umschließen und dann den Fluß berechnen.
Danke Euch beiden  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 05. Sep 2018 14:42 Titel: |
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Das Gausssche Gesetz gilt natürlich auch hier, und der gesamte Fluss durch eine Zylinderoberfläche um den Stab ist gleich . Das hilft aber nicht viel. Daraus kann nicht einfach das E-Feld berechnet werden, das Feld steht auch nur in der Mitte der Mantelfläche und im Zentrum der Deckflächen senkrecht zur Fläche, an allen anderen Orten nicht. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 05. Sep 2018 14:58 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Gefühlsmässig würde mich das wundern, denn bei einer Annäherung an ein Stabende muss das Feld stark zunehmen. Auch die Rechnung sollte etwas anderes ergeben, das E-Feld auf der x-Achse ist beim Stab höher als bei einer Punktladung im Ursprung. |
Ja natürlich, Du hast recht. Danke für den Hinweis. Hatte bei der Rechnung einen Vorzeichenfehler und nicht weiter drüber nachgedacht, obwohl auch mir klar ist, dass die Feldstärke am Stabende gegen unendlich geht. Tatsächlich ist das Feld der Stabladung bei x=2m um 33% höher als das der Punktladung, und bei x=20m nur noch 0,25% höher. |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 16. Sep 2018 00:32 Titel: |
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Sorry für die späte Antwort!
| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Das Gausssche Gesetz gilt natürlich auch hier, und der gesamte Fluss durch eine Zylinderoberfläche um den Stab ist gleich . Das hilft aber nicht viel. Daraus kann nicht einfach das E-Feld berechnet werden, das Feld steht auch nur in der Mitte der Mantelfläche und im Zentrum der Deckflächen senkrecht zur Fläche, an allen anderen Orten nicht. |
Da ich ja das E-Feld im Prinzip auf der x-Achse berechnen will, also wie Du sagtest: im Zentrum der Deckfläche, müsste dann ja Gauß mit Decklfläche gehen, oder? |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 16. Sep 2018 00:44 Titel: |
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Würde dann so aussehen:
Also:
Kann das stimmen? Vor allem wundert mich, dass das r der Radius des Zylinders ist und nicht der Abstand vom Stab ist.
Oder sollte ich es mit der Delta-Funktion machen, um auf der x-Achse zu landen?
Danke! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 16. Sep 2018 09:44 Titel: |
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| Guest1 hat Folgendes geschrieben: | Würde dann so aussehen:
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Das stimmt aus verschiedenen Gründen nicht. Der Beitrag des Zylindermantels müsste etwa so aussehen:
\cdot \vec{e}_r r\,\dd \varphi\dd x)
Hinzu käme noch der Beitrag des elektrischen Flusses durch die Zylinderdeckflächen. Aber wie schon gesagt, so kannst Du das E-Feld bei einem endlich langen Stab nicht einfach berechnen, da das E-Feld nur genau in der Stabmitte radial nach aussen zeigt. Wenn Du das E-Feld im Abstand r von der Mitte des Stabs berechnen willst, so müsstest Du analog wie weiter oben vorgehen, wobei dann noch ein Winkelterm hinzukommt, der den Winkel des Feldbeitrags ) berücksichtigt.
| Zitat: |
Also:
Kann das stimmen? |
Nein. Bei sehr grossen Abständen würde das E-Feld näherungsweise mit 1/r^2 abnehmen wie bei einer Punktladung. Bei kleinen Abständen hingegen müsste die Abnahme näherungsweise wie 1/r sein, wie bei einem unendlich langen geladenen Stab. |
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Guest1
Gast
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| Guest1 Verfasst am: 16. Sep 2018 18:41 Titel: |
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Danke für deine Antwort!
Ich habe übermorgen Klausur und bekomme es auch noch nach viel Rechnen mit dem Integral nicht ganz hin... Könntest du mir den Rechenweg ev. ausführen? Das wäre eine sehr große Hilfe, habe es schon mehrmals versucht...
Vielen Dank! |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 16. Sep 2018 22:45 Titel: |
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Wenn es um das Feld auf der Geraden geht, in der der Stab liegt, so gilt für Punkte ausserhalb des Stabes, also für x>x0 oder x<-x0
=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\limits_{-x_0}^{x_0}\frac{\lambda dx'}{(x-x')^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{\lambda}{x-x'}\right]_{x'=-x_0}^{x'=x_0})
=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0(x^2-x_0^2)})
da ) . Bitte nachrechnen.
Geht es nun auch noch um das Feld auf der Mittelsenkrechten durch den Stab? |
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