Stabiles Gleichgewicht bestimmen

Hageb · Anmeldungsdatum: 18.08.2018 Beiträge: 2

Hallo zusammen,

Wir müssen die unten aufgestellte Aufgabe zu Gleichgewichts Zuständen lösen - ich konnte glaube ich die Bilder nicht einfügen, also sind diese angehängt.

Ich habe einen ersten Ansatz und würde gerne wissen, ob ich damit auf dem richtigen Weg bin - deshalb ist euer Feedback sehr willkommen.

Besten Dank

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Ich denke, Du missverstehst die in der Aufgabe gegebene Anordnung. Du erhältst ein Gleichgewicht für

, aber da der Stab beim festen Punkt (a,0) gleitet, ist stets

.

Das grundsätzliche Vorgehen ist schon richtig, die Kräfte und Drehmomente müssen verschwinden. Wichtig ist, dass die Kraft, die auf den Stab bei (a,0) wirkt, senkrecht zum Stab gerichtet ist. Es sollte sich für

die Gleichung

ergeben, wobei es sehr gut sein kann, dass ich mich verrechnet habe. Um die Stabilität zu beurteilen, schaut man sich an, was bei einer infinitesimal kleinen Auslenkung aus dem Gleichgewicht passiert. Hier erhalte ich ein rücktreibendes Drehmoment, d.h. das Gleichgewicht wäre stabil.

Hageb · Anmeldungsdatum: 18.08.2018 Beiträge: 2

Vielen Dank - hast du mir ev. Ansätze für die Lösung? Ich steh wohl etwas auf dem Schlauch..

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Aus dem Kräftegleichgewicht (je eine Gleichung für die horizontale und vertikale Richtung) und dem Gleichgewicht der Drehmomente ergeben sich drei Gleichungen. Die Sache wird hier relativ einfach, da

-die Kraft, die bei der y-Achse auf das Stabende wirkt, horizontal gerichtet ist
-die Kraft, die bei Punkt (a,0) auf den Stab wirkt, senkrecht zum Stab gerichtet ist.

Benutzt man den Winkel

, wie Du ihn in Deiner Skizze eingezeichnet hast, um die Lage des Stabs auszudrücken, so erhält man aus dem Kräftegleichgewicht die beiden Gleichungen

(dabei ist F1 die Kraft auf das Stabende und F2 die Kraft beim Punkt (a,0)).

Nun noch eine Gleichung für das Drehmomentgleichgewicht bezüglich irgendeines Punktes aufstellen (sind die Kräfte im Gleichgewicht, reicht es, dass die Summe der Drehmomente bezüglich irgendeines Punktes verschwinden; es verschwindet dann auch die Drehmomentsumme bezüglich jeden anderen Punktes). Einfach wird die Gleichung sicher, wenn man die Drehmomente bezüglich des Stabendes auf der y-Achse ausdrückt. Dann hat man drei Gleichungen für

und kann auflösen.

Um zu untersuchen, ob das Gleichgewicht stabil ist, kann man die Abbildung

bilden. Am Vorzeichen sieht man, ob das Drehmoment rücktreibend wirkt oder nicht. Ob dies hinreichend ist, oder ob man auch noch die Kräfte bei einer Auslenkung aus dem Gleichgewicht untersuchen müsste, bin ich nicht ganz sicher. Ich denke aber, dass das hier genügen sollte.