Lagrange Funktion in der ART

PewPew · Anmeldungsdatum: 16.08.2018 Beiträge: 4

Meine Frage:
Hallo liebes Physikerboard,
In der ART Vorlesung die ich besuche haben wir die Lagrange Funktion definiert als:

L := 1/2 g_(ab) * u^a * u^b
mit u = dx/dtau

Für masselose Teilchen ist offensichtlich u^a * u_a = 0 und somit L=0.
Für massebehaftete Teilchen ist u^a * u_a = -1 und somit sollte L=-1/2.
Mein Professor sagt nun aber immer L=-1/2 * m^2 für Teilchen mit Masse m.

Vor allem führt dies bei der Herleitung des effektiven Potentials in der Schwarzschild Metrik dazu, dass ich vor dem dr/dtau einen Faktor 1/m zu viel habe.
Was ist den jetzt richtig?

Vielen dank für die Hilfe im vorraus!

Meine Ideen:
Allein von den Einheiten stimmt hier schon etwas nicht.
Im Fall L=-1/2 m^2 ist [L] = Joul^2, was ok sein sollte, da wenn wir anstatt mit L mit sqrt(L) arbeiten exakt dieselben Bewegungsgleichungen folgen und dann auch die Einheit von L stimmt. Ohne die Wurzel sind die Gleichungen aber einfacher.

Im Fall L=-1/2 ist [L] = (m/s)^2. Das kann aber leicht ausgeglichen werden indem wir m dran multiplizieren, da das ebenfalls die Trajektorien nicht beeinflusst.
Also währe dann mein Ansatz:

L := 1/2 * m * g_(ab) * u^a * u^b = -1/2 * m

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Bereits die Wahl dieser Lagrangefunktion ist für grundsätzliche Betrachtungen nicht sinnvoll. Ausgangspunkt ist zunächst

Man kann jedoch zeigen, dass die von dir genannte Lagrangefunktion für bestimmte Fälle die selben Bewegungsgleichungen reproduziert und daher ebenfalls verwendet werden darf.

Dann muss man sich entscheiden, ob man massebehaftete und masselose Teilchen mittels der selben Lagrangefunktion behandeln möchte - was natürlich grundsätzlich sinnvoll ist. In diesem Fall darf die Lagrangefunktion keinen Vorfaktor m enthalten, d.h. man verwendet

Wenn man dagegen aus der Lagrangefunktion die bekannten nicht-relativistischen Beziehungen für Energie und Impuls ableiten möchte, dann benötigt man den Vorfaktor, d.h.

was die Betrachtung von Photonen natürlich ausschließt, die keinen nicht-relativistischen Grenzfall haben.

Mit dem Wert von

würde ich dabei nie argumentieren, denn dieser Wert folgt ja erst für Lösungen der Bewegungsgleichungen; die Lagrangefunktion ist jedoch ein sinnvolles Objekt bereits vor bzw. ohne das Lösen der Bewegungsgleichungen.

Letztlich folgen alle notwendigen Einheiten durch geeignetes Hinzubasteln von m, c² usw. Da es sich in allen Fällen nur um Vorfaktoren handelt, dürfen sich diese Überlegungen nie auf die Bewegunsgleichungen auswirken. Ein Fehler in einem einzelnen Term muss irgendeine andere Ursache haben.

PewPew · Anmeldungsdatum: 16.08.2018 Beiträge: 4

Vielen dank für die Antwort TomS.
Das ergibt alles soweit Sinn für mich, aber was mich stört ist:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Du darfst das m natürlich nur dann dazubasteln, wenn m > 0 gilt. Dann ist es jedoch konsistent und teilweise sinnvoll.