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Edi
Gast
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 Edi Verfasst am: 15. Aug 2018 14:12 Titel: Energieerhaltung in halbkreisförmiger Loopingbahn mit Feder |
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Meine Frage:
Eine Feder mit Federkonstante k werde spontan um die Länge L entspannt. Dadurch wird eine Masse m so über eine horizontale Strecke der Länge 2r in eine halbkreisförmige Loopingbahn mit Radius r hinein geschossen, dass sie unter dem Einfluss der Erdanziehnung wieder zum Ausgangspunkt zurückfällt.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung ) für die Flugstrecke nach dem Verlassen der Loopingbahn auf.
b) Leiten Sie daraus die Geschwindigkeit ) ab, mit der der Körper die Bahn verlassen muss, um zum Ausgangspunkt zurückzukehren.
Meine Ideen:
zu a) habe ich mir folgendes überlegt:
allg. Bewegungsgleichung für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
 = 1/2\cdot g\cdot t^2 + v_0\cdot t + s_0)
Es ist nach der Flugstrecke nach dem Verlassen der Bahn gefragt.
Das heißt ich brauche die Geschwindigkeit im höchsten Punkt sowie den zurückgelegten Weg bis dorthin?
Damit der Körper im höchsten Punkt nicht herunter fällt muss gelten:
Daraus ergibt sich:
/r)
Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der horizontalen Strecke + dem halben Umfang des Loopings:
Daraus folgt :
 = 1/2\cdot g\cdot t^2 + \sqrt{r\cdot g}\cdot t + 2\cdot r +\pi\cdot r)
Irgendwie habe ich kein gutes Gefühlt bei dem Ergebnis. Kann jemand helfen?
VG Edi
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Aug 2018 14:32 Titel: |
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Du erwähnst den Energieerhaltungssatz. Dann wende ihn doch an!
a)Wie lautet die Formel für die Energie, die von der Feder auf die Masse übertragen wird?
b) Welche Anfangsgeschwindigkeit hat die Masse?
c) Ist mit Ausgangspunkt die Stelle gemeint an der die Masse die Feder verlässt?
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 15. Aug 2018 15:29, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Aug 2018 14:41 Titel: Re: Energieerhaltung in halbkreisförmiger Loopingbahn mit Fe |
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| Edi hat Folgendes geschrieben: |
Damit der Körper im höchsten Punkt nicht herunter fällt muss gelten:
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Streng genommen steht in der Aufgabe noch nicht mal, dass der Körper am höchsten Punkt überhaupt die Bahn berührt und außerdem stimmt die Gleichheit nicht. Der Betrag der Zentripetalkraft muss nur größer sein, als die Gewichtskraft, damit der Körper an die Bahn "gedrückt" wird, bzw. die Bahn eine Kraft auf den Körper ausübt, mit der sie den Körper auf eine Kreisbahn zwingt.
| Edi hat Folgendes geschrieben: | | Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der horizontalen Strecke + dem halben Umfang des Loopings: |
Warum interessiert der uns?
Mach Dir mal eine Skizze. So wie ich die Aufgabe verstehe, soll ein waagerechter Wurf vom höchsten Punkt des Loopings angenommen werden, der so sein soll, dass die Wurfweite passt, um die Masse wieder zurück zur Feder "fliegen" zu lassen (also Fallhöhe ist wie groß? Wurfweite ist wie weit?)
Gruß
Marco
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 15. Aug 2018 15:09 Titel: |
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| Edi hat Folgendes geschrieben: | | Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der horizontalen Strecke + dem halben Umfang des Loopings: |
Wenn Du das so definierst, müsstest Du anstelle der horizontalen Strecke die Länge der Parabelbahn einsetzen. Dann wäre das aber nicht der zurückgelegte Weg ab dem Verlassen des Loopings, sondern ab dem Eintritt in den Looping. Ich denke aber, dass das nicht so gemeint ist. Laut Aufgabenstellung wird mit s die Flugstrecke bezeichnet. Die Flugstrecke ist im Allgemeinen die horizontale Entfernung vom Anfangs- zum Endpunkt des Fluges, also die horizontale Entfernung vom Verlassen des Loopings bis zum Auftreffen. Das geht aus der Aufgabenstellung allerdings nicht eindeutig hervor. Vielleicht ist auch der Ortsvektor mit seiner vertikalen und seiner horizontalen Komponente gemeint. Beide Komponenten sind getrennt berechenbar. Vor dem Hintergrund der weiteren Fragestellung nach der Geschwindigkeit beim Verlassen des Loopings für eine bestimmte "Wurfweite" gehe ich jedoch nach wie vor davon aus, dass mit s die horizontale Entfernung gemeint ist.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Aug 2018 15:18 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Edi hat Folgendes geschrieben: | | Der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der horizontalen Strecke + dem halben Umfang des Loopings: |
...Vor dem Hintergrund der weiteren Fragestellung nach der Geschwindigkeit beim Verlassen des Loopings für eine bestimmte "Wurfweite" gehe ich jedoch nach wie vor davon aus, dass mit s die horizontale Entfernung gemeint ist. |
Offen ist, ob mit s die horizontale Strecke vom Ende des Loopings 2r (Masse verlässt Feder) oder 2r+L (Ausgangssituation)gemeint ist.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 15. Aug 2018 15:28 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Offen ist, ob mit s die horizontale Strecke vom Ende des Loopings 2r (Masse verlässt Feder) oder 2r+L (Ausgangssituation)gemeint ist. |
Ich komme irgendwie nicht damit klar, dass für Dich das Ende des Loopings und der Punkt des Verlassens der Feder derselbe Punkt ist. Aber sei's drum, vielleicht missverstehe ich da ja was. Die Aufgabenstellung ist jedoch eindeutig in Bezug auf den Anfangspunkt der Flugstrecke:
| Edi hat Folgendes geschrieben: | Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Flugstrecke nach dem Verlassen der Loopingbahn auf.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Aug 2018 15:37 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Offen ist, ob mit s die horizontale Strecke vom Ende des Loopings 2r (Masse verlässt Feder) oder 2r+L (Ausgangssituation)gemeint ist. |
Ich komme irgendwie nicht damit klar, dass für Dich das Ende des Loopings und der Punkt des Verlassens der Feder derselbe Punkt ist. Aber sei's drum, vielleicht missverstehe ich da ja was. Die Aufgabenstellung ist jedoch eindeutig in Bezug auf den Anfangspunkt der Flugstrecke:
| Edi hat Folgendes geschrieben: | Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Flugstrecke nach dem Verlassen der Loopingbahn auf.
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@GvC
Nein, so habe ich das natürlich nicht gemeint. Sondern wo endet die Flugstrecke gemessen vom Ende des Loopings: a) Am Anfang ( s= L +2r) der gespannten Feder oder b) am Ende (2r) der entspannten Feder?
Geklärt?
Wir können uns auf b) einigen.
Ob die Energie der Feder überhaupt reicht die Masse auf die Höhe 2r zu heben und eine Zentripetalbeschleunigung >= g zu erreichen, kann mit den Angaben in der Aufgabe nicht ermittelt werden.
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wilkaro205
Anmeldungsdatum: 15.08.2018
Beiträge: 5
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 15. Aug 2018 18:12 Titel: |
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| wilkaro205 hat Folgendes geschrieben: | 
Daraus ergibt sich die Anfangsgeschwindigkeit:
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Dann steigt die Masse ja aber noch 2r an, es wird von dieser Energie also noch ein Teil in potentielle Energie umgewandelt. Wie ist denn bei "Abflug" die kinetische Energie?
Du hast dann einen waagerechten Wurf von Höhe 2r mit Wurfweite 2r. Wie muss dafür die Anfangsgeschwindigkeit sein?
Gruß
Marco
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 15. Aug 2018 19:15 Titel: |
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1) EES:
2) Bedingung im Looping:
3) Waagerechter Wurf:
 muss den Bediungungen aus 1) und 2) genügen.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 16. Aug 2018 09:19, insgesamt einmal bearbeitet |
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wilkaro205
Anmeldungsdatum: 15.08.2018
Beiträge: 5
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| wilkaro205 Verfasst am: 15. Aug 2018 22:40 Titel: |
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Danke für die ausführlichen Erklärungen. Wie ich die Geschwindigkeit ermittle die bei b) gesucht wird ist mir nun klar.
Wie sieht aber die Bewegungsgleichug s(t) nun aus ?
Die Bahngleichung sieht ja so aus:
Für die Geschwindigkeit habe ich folgendes raus:
Die gesuchte Gleichung muss aber doch von t abhängen oder nicht?
Also:
 = \frac{1}{2} \cdot \frac{g\cdot s_x}{v_x} \cdot t )
mit  und
Ist das dann die gesuchte Bewegungsgleichung ? Ich blick da nicht durch 
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 16. Aug 2018 08:49 Titel: |
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Am Ende des Loopings:
Geschwindigkeit am Ende des Loopings, die erreicht werden muss, um den Anfangspunkt zu erreichen verläuft horizontal in x-Richtung und ist konstant:
 wie bereits gezeigt
Geschwindigkeit in y_Richtung:
Die Masse hat damit längs der Bahnkurve die Geschwindigkeit:
= \sqrt{r\cdot g + g^{2} \cdot t^{2}} )
---------
ist eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung, denn es gelten zusätzlich folgende Bedingungen:
Im Looping: Damit die Masse in der Bahn bleibt
Bedingung ist erfüllt.
und, damit die Feder die zur Erreichung von  notwendige Energie hat
Es existieren beliebig viele Lösungskombinationen von r, m, k, L.
z. Bsp. Kann bei gegebenen m, r, k die notwendige Spannlänge L der Feder ermittelt werden.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 16. Aug 2018 10:47 Titel: |
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| wilkaro205 hat Folgendes geschrieben: | | ...Ist das dann die gesuchte Bewegungsgleichung ? Ich blick da nicht durch |
Wie schon oben geschrieben wurde, es ist nicht klar, was mit „Bewegungsgleichung s(t) für die Flugstrecke“ gemeint ist. Steht das genau so in der Aufgabe? Wenn mit s(t) die zurückgelegte Strecke gemeint wäre, so wäre es unüblich, dies als Bewegungsgleichung zu bezeichnen. Ist nicht eher eine Gleichung für den Vektor ) gesucht? Aus der Gleichung soll ja dann in Teil b) die Geschwindigkeit beim Verlassen der Bahn berechnet werden.
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wilkaro205
Anmeldungsdatum: 15.08.2018
Beiträge: 5
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| wilkaro205 Verfasst am: 16. Aug 2018 11:20 Titel: |
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@Myon du hast Recht, das s ist unterstrichen dann ich anscheinend ein Vektor gemeint.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 16. Aug 2018 11:54 Titel: |
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Dann brauchst Du ja nur noch die Gleichung für
=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix})
aufzustellen. Die Geschwindigkeit  beim höchsten Punkt des Loopings in Abhängigkeit von L hast Du ja bereits, allenfalls das Vorzeichen beachten. Bei der Wahl des Ursprungs bist Du grundsätzlich frei, ich würde z.B. den Ausgangspunkt (wo Du oben in der Skizze die Masse m eingezeichnet hast) wählen.
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wilkaro205
Anmeldungsdatum: 15.08.2018
Beiträge: 5
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| wilkaro205 Verfasst am: 16. Aug 2018 14:46 Titel: |
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Okay, wenn ich das jetzt richtig verstehe ist mit x(t) und y(t) jeweils die x und y Richtung des waagerechten Wurfs gemeint. Wenn ich mein Koordinatensystem am Looping anlege und den höchsten Punkt des Loopings als Ortsvektor definiere würde die Gleichung dann so aussehen:
 = \begin{pmatrix} 0\\ 2r\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{k\cdot L^2-4rmg}{m}}\\ - \frac{1}{2} \cdot g\cdot t \end{pmatrix} )
Das müsste dann die Lösung für a) sein oder irre ich mich schon wieder?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 16. Aug 2018 15:01 Titel: |
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| wilkaro205 hat Folgendes geschrieben: | Okay, wenn ich das jetzt richtig verstehe ist mit x(t) und y(t) jeweils die x und y Richtung des waagerechten Wurfs gemeint. Wenn ich mein Koordinatensystem am Looping anlege und den höchsten Punkt des Loopings als Ortsvektor definiere würde die Gleichung dann so aussehen:
Das müsste dann die Lösung für a) sein oder irre ich mich schon wieder? |
M.E. Richtig.
Unter der Voraussetzung, dass der Term
die von mir genannten Bedingungen erfüllt, damit die Masse den Ausgangspunkt trifft.
oder
 = \begin{pmatrix} 0\\ 2r\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} \sqrt{r\cdot g}\\ - \frac{1}{2} \cdot g\cdot t \end{pmatrix} )
Der Ausgangspunkt wird getroffen, wobei jedochj sichergestellt sein muss, dass durch die Energie der Feder  erreicht wird.
Es muss also die Gleichung
erffüllt sein.
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wilkaro205
Anmeldungsdatum: 15.08.2018
Beiträge: 5
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| wilkaro205 Verfasst am: 16. Aug 2018 20:37 Titel: |
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Um welche Länge die Feder gespannt werden muss damit die Masse diesen Vorgang durchführt habe ich jetzt auch berechnet.
Vielen Dank an alle die geholfen haben! Die Aufgabe ist mir nun klar. 
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