Biot Savart unendlich große Platte mit Stromdichte j

Aristo · Anmeldungsdatum: 24.11.2017 Beiträge: 105

Meine Frage:
Hallo zusammen,
mit dem Biot Savart Gesetz bin ich etwas vertraut. Die folgende Aufgabe kriege ich aber einfach nicht eigenständig berechnet. Was ein Halbfeld ist und wie man Homogenität nachweist weiß ich nicht.
Aufgabe:
In einer unendlich ausgedehnten Ebene sei die Flächenstromdichte jA homogen. a) Berechnen Sie das Magnetfeld, B, in Abhängigkeit des Ortes. Betrachten Sie dabei eine Aneinanderreihung von geradlinigen Linienströmen. b) Wiederholen Sie die Berechnung von B unter Verwendung des Ampereschen Gesetzes (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass B in jedem Halbraum homogen ist)

Es soll die Annahme getroffen werden, dass die Platte aus unendlich vielen kleinen Leitern besteht.

Meine Ideen:

Nun muss ich die Aufgabenstellung `nur´ noch übersetzen. Die Vorüberlegung, wie das B- Feld aussehen muss habe ich angestellt und mir eine 3D-Skizze vom Problem gemacht. Mein Feld liegt in der xy-Ebene und der Strom fließt in x-Richtung.
Wenn ich nun einen Leiter in Form von Biot Savart ausdrücke und anschließend über dy integriere von - bis + unendlich, so wäre die Aufgabe doch gelöst richtig?
Ein Leiter hat nach Ampere das B-Feld an jedem Punkt:

Mit r habe ich den Abstand zum Leiter, den ich auswählen kann. In Fall der Platte wäre das der Abstand z. Um auf jeden Punkt auf diesem Leiter zu kommen. der irgendwo auf der Ebene liegt brauche ich noch einen Vektor dessen Länge also Betrag so aussehen muss:

Wie ich aber die beliebige Höhe z und den Betrag zusammenbringen soll zu \vecr für das Biot Savart gesetz ist mir ein Rätsel. Wie ich danach über alle Leiter integriere sowieso.
Der Ansatz ist also allgemein einen allgemeinen Ausdruck zu finden für die Entfernung zu jedem Punkt auf einem Leiter und anschließend diesen Ausdruck über die y-Achse zu integrieren, sodass ich alle Leiter und auch alle Punkte mit inbegriffen habe. Problematisch ist für mich auch das Volumenintegral über eine Platte mit unbekannter Ausdehnung (aber Stromdichte j).

Vielen Dank für jeden Hilfe.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Flächenstromdichte... kannte ich gar nicht. Aber gut, soll es auch geben;)
Wenn man wie Du annimmt, dass der Strom in der xy-Ebene und in x-Richtung fliesst, so kann man das Biot-Savart-Gesetz auf einen Leiter der Breite dy anwenden, in dem der Strom

fliesst. Anschliessend integriert man noch über y:

Das Leiter-Wegelement zeigt in x-Richtung,

. Für den Nenner gilt

.

Die Schwierigkeit liegt v.a. darin,

auszudrücken. Aus Symmetriegründen sollte klar sein, dass das B-Feld in y-Richtung zeigen muss; relevant für das Integral ist also nur die y-Komponente des Kreuzprodukts, die z-Komponente hebt sich beim Integrieren auf. Vielleicht versuchst Du einmal selber, das Integral zu lösen. Und sonst, wenn ich nicht falsch überlegt habe, sollte die y-Komponente gleich

sein. Der Term (*) entspricht dabei dem Sinus zwischen

und

, der Term (**) gibt die y-Komponente an. So erhalte ich jedenfalls dasselbe B-Feld wie über das Ampère-Gesetz.