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Aufgabe zur Induktion
 
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Sasqua



Anmeldungsdatum: 17.06.2018
Beiträge: 1

Beitrag Sasqua Verfasst am: 17. Jun 2018 11:52    Titel: Aufgabe zur Induktion Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Zwischen zwei parallelen horizontalen Leiterschienen mit verschwindendem Widerstand sind zwei parallele leitende Stangen montiert, die sich entlang der Schienen bewegen können (Länge a, Masse m, Widerstand einer Länge R). Die Positionen der beiden Stangen sind x1 und x2. Es besteht keine Reibung. Ein homogenes magnetisches Feld steht senkrecht zu der Fläche der Schienen und Stangen.

Man verschiebe eine Stange mit konstander Geschwindigkeit dx2/dt = v0. Untersuchen Sie die Bewegung der anderen Stange unter der Bedingung, dass sie zur Zeit t = 0 in Ruhe ist.


Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein hab ich keine Ahnung wie ich die Aufgabe angehen soll. Danke im Vorraus an jeden der hilft.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 12:43    Titel: Antworten mit Zitat

Die beiden parallelen Stangen bilden zusammen mit den Leiterschienen einen Stromkreis. Bewegt man die eine Stange, ändert der magnetische Fluss durch den Stromkreis, und es wird eine Spannung induziert (Faradaysches Induktionsgesetz benutzen). Dadurch wiederum fliesst ein Strom durch die anfangs ruhende Stange, und es wirkt eine Lorentzkraft auf sie. Die Stange wird beschleunigt, solange ihre Geschwindigkeit geringer ist als die Geschwindigkeit der zweiten Stange. Es müsste sich also eine Differentialgleichung ergeben für x1(t). Im Grenzfall sollten die Geschwindigkeiten gleich sein, dx1/dt=dx2/dt. Hab jetzt aber nichts nachgerechnet.
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 13:10    Titel: Antworten mit Zitat

Also das Faradysche Gesetz besagt ja, dass die Spannug gleich der zeitlichen Änderung des Integrals vom Magnetfeld über die Fläche ist. Die Lorentzkraft ist F = B * a * I (wobei a die Länge des Leiters ist). Die Fläche des Integrals ist offensichtlich a*(x2-x1) (unter der Annahme das der Ursprung links von den Leitern liegt). Und die Fläche wird ja mit der Geschwindigkeit v0 größer. Ich bin mir aber immernoch etwas unsicher wie ich das alles jetzt genau mathematisch Verpacke. Danke für die Hilfe.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 13:11    Titel: Antworten mit Zitat

PS: Ja, es ergibt sich eine Differentialgleichung für , und man sieht, dass für gilt .
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 13:21    Titel: Antworten mit Zitat

Hab Deine Antwort erst später gesehen. Um mal einen Anfang zu machen: nach dem Faradayschen Induktionsgesetz wird im Stromkreis die Spannung



induziert. Diese Spannung bewirkt einen Strom, und durch diesen wirkt auf die erste Stange die Lorentzkraft



Zuletzt bearbeitet von Myon am 17. Jun 2018 13:47, insgesamt 3-mal bearbeitet
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 13:26    Titel: Antworten mit Zitat

Kurze Verständnisfrage. Sind die v1 und v2 in deinen Gleichungen x1 und x2? [/b][/list]
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 13:31    Titel: Antworten mit Zitat

Sasqu hat Folgendes geschrieben:
Kurze Verständnisfrage. Sind die v1 und v2 in deinen Gleichungen x1 und x2? [/b][/list]

Nein, v1=dx1/dt, v2=dx2/dt.
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 13:43    Titel: Antworten mit Zitat

Okay. Ich glaub ich stell mich heute wirklich dumm an aber stellen wir die untere Gleichung jetzt nach um?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Bitte entschuldige, da war oben ein Fehler bei der Lorentzkraft. Ich hoffe, dass es nun stimmt. Damit wird die Differentialgleichung für v1(t) sogar einfacher. Man kann die Variablen trennen und integrieren.
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 14:11    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich hab es jetzt einmal ausgerechnet und hab als Lösung:

Ist das richtig?
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 14:12    Titel: Antworten mit Zitat

Also für v1(t)
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 14:16    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich drüber nachdenke müsste v0 auch noch Null sein damit bei t=0 der Leiter in Ruhe ist.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 14:18    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm... wenn man



integriert, erhält man doch



Daraus folgt nach etwas umstellen und mit der Konstante C so, dass v1(0)=0:



Bitte nachrechnen, Fehler vorbehalten...
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 14:29    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm nur der Nenner und Zähler im Exponenten sind Vertauscht aber ich sehe gerade nicht wieso.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 14:35    Titel: Antworten mit Zitat

Sasqu hat Folgendes geschrieben:
Hmm nur der Nenner und Zähler im Exponenten sind Vertauscht aber ich sehe gerade nicht wieso.

Das würde bedeuten, dass die Angleichung der Geschwindigkeiten umso schneller erfolgt, je niedriger das B-Feld und je höher der Widerstand ist. Beides widerspricht dem, was man intuitiv erwarten würde.
Sasqu
Gast





Beitrag Sasqu Verfasst am: 17. Jun 2018 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

Ich seh den Fehler bei mir. Vielen dank für die Hilfe. Die Aufgabe hat aber noch einen zweiten Teil:

Man verschiebe nun in einer beliebigen Weise eine der beiden Stangen um L. Zeigen Sie, dass sich die andere Stange um den gleichen Betrag in die gleiche Richtung verschiebt. Verifizieren Sie, dass die geleistete Arbeit vollständig in Joulesche Wärme umgewandelt wird

Folgt der erste Teil dieser Aufgabe nicht sofort daraus das beide die Gleiche Geschwindigkeit erreichen wie wir beim ersten Teil gezeigt haben?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 17. Jun 2018 15:58    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich muss im Moment passen... eigentlich dürfte es nicht so schwierig sein, aber ich seh's im Moment nicht, wie man das schön zeigt. Es muss ja allgemein gezeigt werden, unabhängig vom Geschwindigkeitsverlauf während der Bewegung der einen Stange. Aus dem ersten Teil folgt das m.E. nicht automatisch. Die Lösung für v1(t) gilt nur für v2=const. Ich muss es später nochmals anschauen, oder vielleicht hat sonst jemand eine Idee.
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 18. Jun 2018 02:23    Titel: Antworten mit Zitat

Bin auch noch am Grübeln, will an dieser Stelle nur auf einen klitzekleinen Fehler aufmerksam machen: Der Widerstand des Stromkreises ist nicht R, sondern laut Aufgabenstellung 2R.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 18. Jun 2018 08:32    Titel: Antworten mit Zitat

GvC hat Folgendes geschrieben:
Bin auch noch am Grübeln, will an dieser Stelle nur auf einen klitzekleinen Fehler aufmerksam machen: Der Widerstand des Stromkreises ist nicht R, sondern laut Aufgabenstellung 2R.

Wegen des Widerstands im Stromkreis habe ich auch überlegt, ob nun R oder 2R relevant ist. Hab mir dann aber gedacht, dass die induzierte Spannung fast nur zwischen den beiden Widerständen („gegenüber“, über den Leiterschienen) auftreten kann, und somit die Spannung über jeder Stange gleich und der Strom durch eine Stange U/R wäre. Doch das ist folglich wahrscheinlich nicht richtig.
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 18. Jun 2018 23:00    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Hab mir dann aber gedacht, dass die induzierte Spannung fast nur zwischen den beiden Widerständen („gegenüber“, über den Leiterschienen) auftreten kann, und somit die Spannung über jeder Stange gleich und der Strom durch eine Stange U/R wäre.


Irgendwie vesrhtehe ich Deinen Gedankengang nicht. Was meinst Du damit, dass die induzierte Spannung fast nur zwischen den beiden Widerständen auftreten kann? Mich irritiert das "fast" und das "zwischen" und das "über den Leiterschienen". Jedenfalls kann über den Leiterschienen keine Spannung abfallen, denn die haben den Widerstand null.

Ist es nicht vielmehr so, dass die gesamte induzierte Umlaufspannung durch die Geschwindigkeitsdifferenz der beiden Stangen bestimmt wird, wie Du selber festgestellt hast? Diese Spannung treibt einen Strom durch beide Stangen, also durch 2*R.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 18. Jun 2018 23:31    Titel: Antworten mit Zitat

„Über den Leiterschienen“ war falsch ausgedrückt. Man hat ja einen Stromkreis bestehend aus 2 Widerständen. Die Frage für mich ist/war einfach: wo genau im Stromkreis tritt die induzierte Spannung Vind auf (das habe ich mich übrigens auch bei ähnlichen Aufgaben schon gefragt)? In dem simplen Stromkreis kann ja nur eine Spannung über den beiden Widerständen auftreten, und zwar an beiden Widerständen dieselbe. Ich behaupte überhaupt nicht, dass der Strom durch einen Widerstand/durch eine Stange Vind/R sei, aber ein Strom Vind/(2R) will mir auch noch nicht recht einleuchten.

@Sasqu: falls Du eine Lösung zum Aufgabenteil b) erhältst oder den Teil selber lösen konntest - es würde mich interessieren, wie man das schön zeigt. Falls Du also noch mitliest, bitte die Lösung hier bekanntgeben.

PS: man könnte natürlich einfach



integrieren und erhält (falls v1(0)=0)



Dann sieht man zumindest, dass ist, solange . Folglich müsste bei einer Verschiebung von Stange 2 um L auch die Stange 1 sich um L bewegen. Aber wahrscheinlich war etwas anderes verlangt...
GvC



Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861

Beitrag GvC Verfasst am: 19. Jun 2018 00:59    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
wo genau im Stromkreis tritt die induzierte Spannung Vind auf


Die induzierte Spannung ist eine Umlaufspannung um den magnetischen Fluss herum. Sie basiert auf einem quellenfreien Wirbelfeld, für das der Kirchhoffsche Maschensatz nicht gilt, sondern das Faradaysche Gesetz. Im vorliegenden Fall ist die induzierte Spannung der "Antrieb" für den Strom durch die aus zwei Widerständen bestehende Masche. Dafür gilt das ohmsche Gesetz i=ui/2R.

Man kann das Faraday-Gesetz aber auch als "erweiterten" Kirchhoffschen Maschensatz interpretieren, für den gilt: Die Summe aller Verbraucherspannungen in einer geschlossenen Masche ist gleich der Summe aller Erzeugerspannungen (EMK) im selben Umlaufsinn. Kirchhoff selber hatte seinen Maschensatz übrigens genau so formuliert, wobei die EMK nicht magnetisch, sondern chemisch induziert war (Batterie), die auf einem wirbelfreien Quellenfeld basiert. Die Unterscheidung zwischen Verbraucherspannungen und elektromotorischen Kräften EMK ist im deutschsprachigen Raum nicht sehr populär (außer in früheren Zeiten in der DDR). Im anglo-amerikanischen Bereich wird sie von Anfang an gelehrt. Sie wird durch ein Symbol gekennzeichnet, das dem griechischen Kleinbuchstaben ähnelt, aber im Format großer lateinischer Buchstaben geschrieben wird.

Unterscheidung:
Eine Verbraucherspannung hat am Verbraucher dieselbe Richtung wie der Strom, am Erzeuger entgegengesetzte Richtung (das kennst Du z.B. bei Strom- und Spannungspfeil an einer Spannungs- oder Stromquelle).

Eine Erzeugerspannung (EMK) hat an einer Quelle dieselbe Richtung wie der Strom, am Verbraucher entgegengesetzte Richtung.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 19. Jun 2018 17:52    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank für Deine ausführliche Erklärung!
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