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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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 MM95 Verfasst am: 12. Jun 2018 13:57 Titel: Beweis Normierung Wellenfunktion |
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Meine Frage:
Hallo, ich soll zeigen daß die Wellenfunktion
=[\pi \sigma^2(t)]^{-3/2} exp[-((\vec{r} -\vec{v_0}t )/(\sigma(t)))^2] )
zu jedem Zeitpunkt auf 1 normiert ist.
Meine Ideen:
Ich bilde das Betragsquadrat (hier identisch mit dem Quadrat, da die Funktion reell ist) und integriere über den gesamten Raum.
d\vec{r})
Nun denke ich, daß es genügt es komponentweise zu integrieren (die Wahr. das Teilchen auf der gesamten x-Achse zu finden ist 1, ...)
Daher
dr=1 )
Stimmt dieser Ansatz? Liebe Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 12. Jun 2018 21:16 Titel: Re: Beweis Normierung Wellenfunktion |
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| MM95 hat Folgendes geschrieben: |
Ich bilde das Betragsquadrat (hier identisch mit dem Quadrat, da die Funktion reell ist) und integriere über den gesamten Raum.
Nun denke ich, daß es genügt es komponentweise zu integrieren
...
Stimmt dieser Ansatz? Liebe Grüße |
Soweit schon, was danach kommt nicht. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 13. Jun 2018 10:53 Titel: |
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Mhm nagut.
Wäre es stattdessen 1/3? Dann für alle Achsen 3*(1/3)=1?
Mein Problem ist, daß ich nicht klar weiß, wie ich mit dieser Vektorwertigen Funktion umzugehen habe 
Liebe Grüße |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 13. Jun 2018 13:31 Titel: Re: Beweis Normierung Wellenfunktion |
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| MM95 hat Folgendes geschrieben: |
...
Mein Problem ist, daß ich nicht klar weiß, wie ich mit dieser Vektorwertigen Funktion umzugehen habe |
Integriert wird über das Volumen, also
\,dV)
Du kannst Kugelkoordinaten verwenden. Der Term ) im Exponenten spielt keine Rolle, da über den gesamten Raum integriert wird (man könnte ) substituieren, die Funktionaldeterminante wäre =1).
Dann wird nur noch benötigt, dass
ist. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 13. Jun 2018 17:16 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
Du kannst Kugelkoordinaten verwenden. |
Kann man, aber das bringt hier m.E. keinen Vorteil. Stattdessen würde ich benutzen
^3.)
Dann benötigt man auch nur das Standard-Gauß-Integral. (Vielleicht war das mit "komponentenweise Integrieren" gemeint?) |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 14. Jun 2018 12:15 Titel: |
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Danke fürs antworten!
Ok. Also ist
 dx )^3)
Jetzt erhalte ich für
 dx = \int_{-\infty}^\infty (\pi \sigma^2)^{-3} exp[-2((x-v_0 t)/\sigma)^2] = (\sqrt{2} \pi^{5/2}\sigma^5)^{-1})
Das sieht nicht richtig aus |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 14. Jun 2018 12:51 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | ...Stattdessen würde ich benutzen
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Stimmt, da gab es ja mal diesen Trick mit dem Integral, den man normalerweise umgekehrt benutzt:)
| MM95 hat Folgendes geschrieben: |  dx )^3) |
Das kann man nicht so schreiben.  ist eine Funktion  (hier reell).
Aber mit dem Hinweis von index_razor kann man ausnutzen, dass gilt
)/\sigma(t))^2}\,\dd V=\int_V e^{-2r^2/\sigma(t)^2}\,\dd V=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x^2/\sigma(t)^2}\,\dd x\right)^3)
PS: jetzt geht es bei mir im Moment auch nicht mehr auf... es ist doch
^2}\,\dd x\right)^3=\left(\frac{\pi\sigma^2}{2}\right)^{\frac{3}{2}})
Finde im Moment den Fehler nicht... bist Du sicher, dass die eingangs angegebene Normierungskonstante von richtig ist? Hab auch deshalb etwas Mühe, weil mit dieser Konstante, falls  die Dimension einer Länge hat,  keine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 14. Jun 2018 14:48 Titel: |
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Ja das stimmt definitiv so. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 14. Jun 2018 15:21 Titel: |
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Myon, ich denke du hast recht. Irgendwas stimmt mit der Aufgabe nicht. Der Normierungsfaktor ist falsch und die Definition von ist unkonventionell für eine Gaußverteilung. |
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gnt
Gast
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| gnt Verfasst am: 14. Jun 2018 16:26 Titel: |
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Ich denke, diese "Wellenfunktion" ist eine dreidimensionale Normalverteilung.
Man kann in der Exponentialfunktion die Vektoren in eine Dimension überführen, und bei der Normierungskonstante die dritte Wurzel ziehen. Dann sieht man beim Vergleich mit der eindimensionalen Normalverteilung sofort, dass diese Funktion bereits normiert ist. Aber ich sehe hier ein Problem bzgl. der Quantenmechanik - von dieser Funktion sollte ja erst das Betragsquadrat gebildet werden. Wurde hier evtl. statt der Wellenfunktion bereits Abs[psi]² als psi ausgegeben? Oder vielleicht übersehe ich etwas. |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 14. Jun 2018 18:52 Titel: |
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In der Tat, als das Blatt ausgeteilt wurde, sagte der Übungsleiter, daß das Betragsquadrat da nicht hingehört (also es war ein Druckfehler). Daher habe ich hier (ganz oben) nur psi angegeben. Es wäre also möglich daß das Betragsquadrat doch nicht falsch war. Gruß |
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MM95
Anmeldungsdatum: 16.01.2017
Beiträge: 55
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| MM95 Verfasst am: 14. Jun 2018 21:44 Titel: |
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Japp hat jetzt alles geklappt. Vielen Dank nochmal für die Antworten!
Gruß  |
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