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Lineare Regression
 
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KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 08. Dez 2017 22:50    Titel: Lineare Regression Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Der Wärmeausdehnungskoef?zient ? eines Stahlstabes soll experimentell bestimmt werden.Dazu wird die Länge L(T) des Stabes wird bei verschiedenen Temperaturen gemessen:
T/K L/mm
295 840,03
332 840,42
380 840,78
453 841,39
480 841,76
513 841,95
575 842,55
Der theoretische Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Länge lautet: L(T) = L0 ·(1 + ?·T) wobei T die absolute Temperatur in Kelvin und L0 die Länge bei T = 0 ist. Berechnen Sie mit der Methode der linearen Regression den Wert für den Temperaturkoef?zienten und geben Sie das Ergebnis sinnvoll gerundet mit absolutem und relativem Fehler an.


Meine Ideen:
Man Ansatz war gewesen durch Kovarianz und Varianz Beta und Alpha zu bestimmen. Nur das ist wohl falsch. Den Temperaturkoeffizienten Alpha erhalte ich wohl mit Hilfe der partiellen Ableitung. Nun weiß ich nicht wo ich anfangen soll. Über Hilfe freue ich mich.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5147

Beitrag Mathefix Verfasst am: 09. Dez 2017 10:24    Titel: Antworten mit Zitat

1. https://de.wikipedia.org/wiki/Einfache_lineare_Regression

2. Kannst Du ganz einfach in Excel machen s. Anhang

Habe ich auf die Schnelle gemacht.



Regression.pdf
 Beschreibung:

Download
 Dateiname:  Regression.pdf
 Dateigröße:  214.27 KB
 Heruntergeladen:  267 mal

KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 09. Dez 2017 12:47    Titel: Antworten mit Zitat

danke. Zweites Teilproblem war die Bestimmung von Alpha und der Fehler
Ich bin da auf:
alpha = 1/Lo * (LT-Lo)/T
gekommen.
Den absoluten Fehler habe ich so berechnet:
(Lo*T)+(α*Lo)+(α*T+1)


den relativen Fehler wie folgt:
(a.Fehler/T)*100

richtig ? oder Änderungsvorschläge ?
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5147

Beitrag Mathefix Verfasst am: 09. Dez 2017 16:53    Titel: Antworten mit Zitat

KarlAlexander hat Folgendes geschrieben:
danke. Zweites Teilproblem war die Bestimmung von Alpha und der Fehler
Ich bin da auf:
alpha = 1/Lo * (LT-Lo)/T
gekommen.
Den absoluten Fehler habe ich so berechnet:
(Lo*T)+(α*Lo)+(α*T+1)


den relativen Fehler wie folgt:
(a.Fehler/T)*100

richtig ? oder Änderungsvorschläge ?


Ich bin der Meinun, dass Du als absolten Fehler die Summe der Abweichungen zwischen den Werten der Regressionsgeraden und der Messwerte bilden musst.
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 10. Dez 2017 16:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ok merci.

Also das wäre mein absoluter Fehler ?

T/K L/mm L mit Formel Abweichung (L-FOrmel-L/mm)
295 840,03 840,05 0,02
332 840,42 840,37 -0,05
380 840,78 840,8 0,02
453 841,39 841,45 0,06
480 841,76 841,69 -0,07
513 841,95 841,99 0,04
575 842,55 842,54 -0,01

Gesamt(absoluter Fehler) 0,01
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5147

Beitrag Mathefix Verfasst am: 10. Dez 2017 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

KarlAlexander hat Folgendes geschrieben:
Ok merci.

Also das wäre mein absoluter Fehler ?

T/K L/mm L mit Formel Abweichung (L-FOrmel-L/mm)
295 840,03 840,05 0,02
332 840,42 840,37 -0,05
380 840,78 840,8 0,02
453 841,39 841,45 0,06
480 841,76 841,69 -0,07
513 841,95 841,99 0,04
575 842,55 842,54 -0,01

Gesamt(absoluter Fehler) 0,01


Du musst die Absolutwerte (Beträge) der Abweichungen nehmen. Sonst gleichen sich positive und negative Werte aus, sodaß auch bei grossen Abweichungen eine Abweichung von 0 rauskommen kann.
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 10. Dez 2017 21:59    Titel: Antworten mit Zitat

okay also die Absolutwerte der Abweichungen lauten:
0,02
0,05
0,02
0,06
0,07
0,04
0,01

Folglich ist der absolute Fehler(SUmme der Abweichungen):
0,27

Richtig ?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4690

Beitrag Myon Verfasst am: 10. Dez 2017 23:19    Titel: Antworten mit Zitat

Nur kurz: es soll doch der Fehler des durch die Messungen geschätzten Längenausdehnungskoeffizienten berechnet werden? Das ginge nicht auf diese Weise. Der Fehler wäre ja unabhängig von der Anzahl Messungen, was nicht sein kann.

Was hier gemacht wird, ist ja: aufgrund einer Anzahl Messungen macht man eine Schätzung über den „wahren“ Zusammenhang zwischen den beiden Grössen Temperatur und Stablänge. Die Schätzungen für den Achsenabschnitt und die Steigung der Regressionsgeraden sind normalverteilt, und ihre Varianz wird so berechnet, wie z.B. in den Formeln hier gezeigt ist. Für die Berechnung aus den Messwerten wird die in den Formeln auftretende Varianz durch den Schätzer des nachfolgenden Unterabschnitts des Artikels ersetzt.

Neben dem so berechneten statistischen Fehler müsste überlegt werden, ob allenfalls noch systematische Fehler denkbar sind.
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 11. Dez 2017 02:11    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Für die Berechnung aus den Messwerten wird die in den Formeln auftretende Varianz durch den Schätzer des nachfolgenden Unterabschnitts des Artikels ersetzt...Neben dem so berechneten statistischen Fehler müsste überlegt werden, ob allenfalls noch systematische Fehler denkbar sind.


Ich habe es am Anfang so gemacht, wie du es hier vorschlägst. Fand mein Pauker falsch...
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 12. Dez 2017 16:53    Titel: Antworten mit Zitat

@Mathefix:
wäre nett, wenn du mir noch kurz bestätigen könntest, ob mein Ansatz richtig ist.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5147

Beitrag Mathefix Verfasst am: 12. Dez 2017 17:07    Titel: Antworten mit Zitat

KarlAlexander hat Folgendes geschrieben:
@Mathefix:
wäre nett, wenn du mir noch kurz bestätigen könntest, ob mein Ansatz richtig ist.


Du musst den Wert noch durch die Anzahl der Messwerte dividieren. Damit erhältst Du die mittlere absolute Abweichung.

Diese Vereinfachung, da ich nicht weiss, welche Statistikkenntnisse Du hast (s. Beitrag von Myon).

Der in der Regressionsrechnung mit Excel ausgewiesene Korrelationskoeffizient liegt sehr nahe an 1 d.h die Messwerte werden sehr gut durch einen linearen Zummenhang wiedergegeben.
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 12. Dez 2017 19:05    Titel: Antworten mit Zitat

Danke.

Ich habe keine Statistik-Kenntnisse.

Meine Ergebnisse noch einmal zusammengefasst:

Alpha (gerundet) absoluter Fehler
0,35 0,04

relativer Fehler
0,0048
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4690

Beitrag Myon Verfasst am: 12. Dez 2017 22:30    Titel: Antworten mit Zitat

KarlAlexander hat Folgendes geschrieben:

Alpha (gerundet) absoluter Fehler
0,35 0,04

relativer Fehler
0,0048


Dass hier relativer und absoluter Fehler einander nicht entsprechen, sieht man doch sofort. Aber ich frage mich, woher überhaupt der Wert 0.35 herkommt. Wenn Du eine Regressionsgerade durch die Daten legst, musst Du noch durch den Achsenabschnitt dividieren, um den Längenausdehnungskoeffizienten zu erhalten. Aus den obigen Daten erhalte ich etwa



und einen absoluten Fehler von etwa

.
KarlAlexander
Gast





Beitrag KarlAlexander Verfasst am: 13. Dez 2017 10:56    Titel: Antworten mit Zitat

@Myon:
Kannst du bitte die Berechnungsformel hier hineinposten ?
Damit ich nachvollziehen kann, wie du vorgegangen bist.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4690

Beitrag Myon Verfasst am: 13. Dez 2017 21:04    Titel: Antworten mit Zitat

Die Formeln findest Du im oben verlinkten Wiki-Artikel oder in jedem Datenanalyse- und Statistikskript. Die Parameter der Regressionsgeraden sind:





Die Steigung b1 durch den Achsenabschnitt b0 ergibt den gesuchten Ausdehnungskoeffizienten.

Der Fehler ergibt sich ebenfalls aus den im Artikel erwähnten Formeln (Abschnitt „Varianzen der Kleinste-Quadrate-Schätzer“, mit dem des nachfolgenden Abschnitts.
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