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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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 Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 17:19 Titel: Spannung im Schwingkreis |
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Hallo ihr Lieben,
ich beschäftige mich gerade mit dem Schwingkreis. Die Formeln für ) und ) habe ich bereits hergeleitet. Nun wollte ich mich an der Spannung als Zeitfunktion versuchen.
Mein Problem ist bereits der Ansatz. Mein Ziel ist es, wieder eine ähnliche Struktur wie bei den beiden anderen Formeln hinzubekommen, die ja lauten
 = \hat{I} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
sowie
 = \hat{Q} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
In der Schule haben wir als Grundannahme folgendes verwendet
Die Spannungen sind also sowohl an der Induktivität, als auch am Kondensator identisch. Und da ich ja eine Spannungsfunktion suche, könnte ich das ja direkt als Ansatz nehmen. Nur weiß ich nicht, wie ich an dieser Stelle die Zeit hineinbasteln soll.
Deshalb bin ich etwas anders herangegangen und hoffe, dass es in Ansätzen stimmt. Da die Spannungen ja an beiden Bauelementen gleich sind, habe ich mir gedacht, dass gilt
Die Gleichung für I=f(t) habe ich ja bereits und die des induktiven Widerstandes ist ja
Daraus folgt
 = X_L \cdot I = L \cdot \omega \cdot I = L \cdot 2 \pi f \cdot I)
für f die Thoms. Schw.gl. eingesetzt und für I die bereits vorhandene Gleichung
 = L \cdot \frac{2 \pi}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}} \cdot \hat{I} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
Das ganze noch etwas entknäuelt und ich komme auf
 = \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \hat{I} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
Nun finde ich aber weder die Form dieser Formel ansprechend (mir fehlt da bspw. das  ), noch bin ich mir sicher, ob sie überhaupt stimmt.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Aber bitte nicht zu viel verraten, möchte es eigentlich selbst herausfinden  .
EDIT: Kann es sein, dass
ist? Wenn ja, wie kann man das zeigen? |
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speedyschmidt
Anmeldungsdatum: 05.01.2006
Beiträge: 48
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| speedyschmidt Verfasst am: 03. Mai 2006 17:39 Titel: |
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Ja, das ist korrekt!
Wenn I maximal ist, ist U bei konstantem wurzel(L/C) oder einfach X_L, ebenso maximal! |
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 17:45 Titel: |
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Danke! 
Es gilt also tatsächlich
 = \hat{U} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
Aber kann man darauf auch kommen, ohne zu kennen, nämlich gerade über  ? |
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
Beiträge: 182
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 17:53 Titel: |
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Ich sehe gerade, dass es über den EES viel schneller ginge.
daraus folgt
 = \sqrt{\frac{L}{C} \cdot I^2})
Aber auch hier benötige ich wieder I(t) ...  |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 18:56 Titel: Re: Spannung im Schwingkreis |
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Stimmt nicht ganz:
| Ric hat Folgendes geschrieben: |  = \hat{I} \cdot \cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
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Da Strom und Spannung um 90° phasenverschoben sind - sowohl für L wie auch für C - nur eben einmal vor- und einmal nacheilend ist nun aber NICHT
| Zitat: |
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sondern
 =- \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \hat{I} \cdot \sin (\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
 =+ \sqrt{\frac{L}{C}} \cdot \hat{I} \cdot \sin(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t))
Für die Beträge (Spitzenwerte) ist Deine Betrachtung natürlich OK.
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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 03. Mai 2006 19:20, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 18:59 Titel: |
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Dann muss ich mal ganz plump fragen, welches U ich beschrieben habe?
Sind hier unterschiedliche Spannungen am Werkeln? Von einer Phasenverschiebung hatten wir im Unterricht leider noch nichts.
EDIT: Hab dein edit noch gar nicht gelesen. Nun, wie gesagt, wir hatten noch keine Phasenverschiebung. Wie müsste die Formel denn richtig lauten? |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:16 Titel: |
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Bei einer Induktivität hat man Spannung = 0 wenn sich der Strom nicht ändert. D.h. der Nulldurchgang von U korreliert zeitlich mit dem Maximum von I (da sich I am Maximum nicht ändert).
Ein cos-Strom wird daher eine sin-Spannung !!!
Die Impedanz  berücksichtigt nur die Beträge (Spitzenwerte), die Phase muss man noch extra berücksichtigen.
Streng genommen ist die Impedanz einer Induktivität eine komplexe Grösse, d.h.  - dann kann man wieder das "ohmsche" Gesetz heranziehen.
Zeichne Dir die zeitverläufe mal auf !!!
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:21 Titel: |
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siehe richtiger Zeitverlauf oben (edit)
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 19:22 Titel: |
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Meinst du so etwas?
 = \hat{I} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t + \varphi))
 = \hat{U} \cdot cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t + \varphi))
EDIT: Verstehe leider nur verhältnismäßig wenig, von dem was du sagst. Ich werde höchstwahrscheinlich nochmal meinen Lehrer konsultieren oder mich im Unterricht berieseln lassen. Vielleicht kommt es ja noch; wir haben ja gerade erst mit dem Thema angefangen.
Melde mich dann wieder hier .... |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:26 Titel: |
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Ja, in etwa, Du bist auf der richtigen Spur:
 = \hat{I} \cdot \cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t ))
 = \hat{U} \cdot\ cos(\sqrt{\frac{1}{L \cdot C}} \cdot t \pm \pi/2))
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Ric
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 19:29 Titel: |
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Aha, gut. Ist es eine Festlegung, dass man immer nur die Spannung phasenverschoben relativ zur Stromstärke betrachtet?
Sind die beiden (U und I) wirklich immer phasenungleich? Was habe ich mir darunter vorzustellen? |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:38 Titel: |
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| Ric hat Folgendes geschrieben: | | Sind die beiden (U und I) wirklich immer phasenungleich? |
ja
| Ric hat Folgendes geschrieben: | | Was habe ich mir darunter vorzustellen? |
Dass nur Ladungen in den Kondensator fliessen, wenn sich die Spannung an ihm ändert, und nur eine Spannung an der Induktivität induziert wird, wenn sich ihr Strom ändert. Das ist der Clou des Schwingkreises (und elektromagnetischer Wellen allgemein).
| Ric hat Folgendes geschrieben: | | Aha, gut. Ist es eine Festlegung, dass man immer nur die Spannung phasenverschoben relativ zur Stromstärke betrachtet? |
Nein, man könnte genausogut die Spannung mit Phase = 0 festlegen. Es gibt ja beim Strom aus der steckdose keinen absoluten zeitlichen Nullpunkt, man kann zwei sinusförmige Schwingungen aber immer relativ in der Phase zueinander betrachten.
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Ric
Anmeldungsdatum: 03.02.2005
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 19:45 Titel: |
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Ok, du bist mir eine Riesenhilfe. 
Eine Frage noch: Wieso fließen die Ladungen nur bei einer nicht konstanten Spannung in den Kondensator?
EDIT: Und noch eins: Wie leitet man denn U = f(t) nun korrekt her?
Zuletzt bearbeitet von Ric am 03. Mai 2006 19:48, insgesamt einmal bearbeitet |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:47 Titel: |
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Stell Dir ein Pendel vor:
U entspricht der Auslenkung des Massepunktes
I entspricht der Geschwindigkeit des Massepunktes.
Beide Schwingungen sing um 90° versetzt.
Es ist beim SK nichts anderes.
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:48 Titel: |
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| Ric hat Folgendes geschrieben: | | Und noch eins: Wie leitet man denn U = f(t) nun korrekt her? |
Welche Klasse gehst Du denn ?
Kennst Du den Begriff des Differenzierens schon ? Wenn nicht wird es mühsam ...
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Ric
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| Ric Verfasst am: 03. Mai 2006 19:51 Titel: |
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Jupp, klar. Bin Leistungskurs Klasse 12. Lass deinen mathematischen Fähigkeiten freien Lauf . |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 19:54 Titel: |
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| Zitat: | | Wieso fließen die Ladungen nur bei einer nicht konstanten Spannung in den Kondensator? |
Es gilt ja:
Wenn U konstant bleibt, bleibt somit auch Q konstant. Wird U erhöht, so steigt auch Q (Ladevorgang) - und nur während dieser Zeit der Änderung von U fliesst auch ein Strom.
Mathematisch:
 := \frac{\Delta Q}{\Delta t} = C \cdot \frac{\Delta U}{\Delta t})
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 03. Mai 2006 20:03 Titel: |
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Also dann haben wir für C:
 = C \cdot \frac{dU}{dt})
Wenn nun
 = U_0 \cdot \sin \omega t)
dann ist
 = C \cdot \frac{dU}{dt} = U_0 \cdot C \cdot \omega \cdot \cos \omega t)
(Differenzieren!)
Also siehst Du hier schon die Phasenverschiebung. Das Verhältnis der Amplituden ist dann
Induktivität::
 = L \frac{dI}{dt})
Es folgt:
... naja das kannst Du jetzt schon selbst !
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Ric
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| Ric Verfasst am: 04. Mai 2006 21:00 Titel: |
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Okidoki, ich danke dir für deine hilfreiche Hilfe .
Ich belasse es vorerst erstmal dabei, wir bekommen das ja anscheinend noch in Physik und ich will nicht zu weit vorweggreifen.
Interessant ist allerdings, dass
ist. Wie kommt das zustande? Ist in einem Schwingkreis grundsätzlich der Kondensator das "limitierende" Bauteil, also jenes, das die Amplituden bestimmt? |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 04. Mai 2006 22:22 Titel: |
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Das hat nichts mit limitieren zu tun. In der obigen Herleitung habe ich lediglich hergeleitet, dass die Spitzenwerte von Spannung und Strom am Kondensator eben im Verhältnis XC=1/omega*C stehen. Das gilt für jeden Kondensator, egal ob er nun im Schwinkgreis ist oder nicht.
Genauso kann man für die Induktivität zeigen, dass die Spitzenwerte von U und I im Verhältnis XL=omega*L stehen. Das habe ich Dir als Übung übergelassen.
Man muss eben nur wissen, dass das Verhältnis nur für die Amplituden gilt und nicht in jedem zeitlichen Moment. Vielmehr ist dort wo die Spannung maximal ist der Strom Null und umgekehrt (90° Phasenverschiebung). Deshalb wird auch an C und L keine Leistung verbraten, da das Produkt aus U und I im Mittel Null ist. Darum nennt man Q=U*I bei C und L auch "Blindleistung".
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