Katze jagt Maus hinterher

Misty · Gast

Hi Leute,

ich habe folgende Aufgabe: Eine Katze jagt einer Maus hinterher, die Maus bewegt sich auf der y-Achse, die Katze ändert ihre Bewegungsrichtung so, dass sie immer auf die Maus zuläuft.
Katze und Maus bewegen sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag (vk=2*vm). Die beiden Geschwindigkeitsvektoren schließen den Winkel phi ein (Maus läuft also gerade auf der der y-Achse und die Katze entsprechend auf einem einem Bogen).

Nun soll der Abstand s zwischen Katze und Maus in Abhängigkeit eben dieses Winkels phi bestimmt werden.
Im Prinzip gilt ja:

Also Ortsvektor der Maus ist der Ortsvektor der Katze Plus Verbindungsvektor zwischen beiden. Zwischen dem Ortsvektor der Maus und dem Verbindungsvektor von Katze und Maus (s) liegt außerdem der Winkel phi.

Somit kann für den Ortsvektor der Katze

geschrieben werden.

Das Problem ist, ich habe keine wirkliche Ahnung, wie es weitergeht. Es läuft darauf hinaus, dass ich ableiten und zwei gekoppelte Differentialgleichungen (einmal s' und einmal phi') aufstellen muss, die jeweils von s und phi abhängig sind. Aber wie stelle ich diese DGLs auf? Die Ableitung der Vektoraddition führt letztlich nur dazu, dass ich Gleichungen für die Komponenten Vsx und Vsy erhalten, die jeweils von Vs, s, phi und phi' abhängen. Wenn ich dann nach Vs bzw. phi' umstelle, hängen die beiden DGLs also nicht nur von s und phi, sondern auch von Vsx und Vsy ab. Wie kriege ich die raus? Wenn ich den einfachen Zusammenhang

benutze, dann habe ich ja nur eine Gleichung, obwohl ich eigentlich zwei bräuchte, um die zu entkoppeln. Außerdem hätte die sehr unhandliche Quadrate drin, sodass mir dieser Weg unwahrscheinlich scheint.

Vielen lieben Dank im Voraus
Misty

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

Das ist das gleiche Verfolgungsproblem wie wenn man mit ener Boden-Luft-Rakete ein am Himmel fliegendes Flugobjekt abschießen will, wenn die Rakete IR gesteuert zu jedem Zeitpunkt auf das Triebwerk des Flugobjektes ausgerichtet ist.
Es fehlen konkrete Randbedingungen.
z.B. Lage der Objekte zum Startzeitpunkt zueinander und Geschwindigkeiten der Objekte. Wenn die dann auch noch zeitlich veränderlich sind ist eine geschlossene Lösung wahrscheinlich nicht möglich.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Auwi · Anmeldungsdatum: 20.08.2014 Beiträge: 602

ok. konnte die Klammer " (vk=2*vm)." nicht deuten. Trotzdem fehlt mir persönlich eine konkrete Anfangsbedingung. ( Ort der Maus (wahrscheinlich Pm (0 ; 0) und der Ort der Katze Pk ( ? ; ? ))
Und für eine iterative Näherung dann eben konkrete Werte.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Misty · Gast

Hi,

mir wäre zuerst einmal wichtig, überhaupt die richtigen DGLs aufzustellen. Für die Lösung kann man sich dann passende Anfangsbedingungen überlegen (gegeben war nichts weiter).
Ich weiß jetzt noch gar nicht genau, wie konkret die Anfangsbedingungen dann überhaupt sein müssen. Man hat ja schonmal die Geschwindigkeiten zueinander (die sich betraglich nicht verändern, nur natürlich die Richtung der Geschwindigkeit der Katze, was allerdings dadurch einbezogen wird, dass man eben eine Abhängigkeit vom Winkel phi zwischen den Geschwindigkeitsvektoren hat). Außerdem ist es denke ich so gedacht (wenngleich nicht explizit erwähnt), dass phi größer als 0 und kleiner als 90° ist.
Die Lage der Maus ist irgendwo auf der y-Achse und die Katze demzufolge "etwas tiefer und mit x-Komponente". Konkreter geht es bei dieser Aufgabenstellung nicht, aber da es letztlich darum geht, eine Gleichung für s(phi) zu ermitteln, weiß ich nicht, ob das nicht schon für die Lsg. der DGLs ausreicht.

Misty · Gast

Hat niemand eine Idee, wie die DGLs aufgestellt werden können?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Naja, ich denke, die DGLs sind jetzt nicht unbedingt das ganz große Problem.

Du kennst ja

schon. Das ist ja einfach:

Das ist ja das, was im Text gegeben ist. Außerdem noch, dass

Du bekommst dann halt so ein gekoppeltes DGL-System:

Aber wie man das dann wohl lösen kann?
Übrigens: Ich habe Deine Bezeichnungsn jetzt versucht zu übernehmen. Deshalb nannte ich jetzt die Ortsvektoren m und k und hab die x- und y-Indizes dann noch dazu geschrieben. Auf die Art ist es aber eher ziemlich verwirrend geworden, würde ich sagen...

Gruß
Marco

PS: Dabei ist dann natürlich