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Namenloser324
Gast
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 Namenloser324 Verfasst am: 19. Apr 2017 22:33 Titel: Eigenfunktionen eines Operators: Immer eine Basis? |
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Hallo,
meine Beschäftigung mit der Quantenmechanik hat ein paar Fragen aufgerufen die an sich allgemeiner sind als die Thematik, daher hier der Post:
In der QM entwickelt man häufig Zustände nach Eigenfunktionen eines Operators F. Mir stellt sich die Frage unter welchen Bedingungen die Eigenfunktionen eine Basis eines Hilbertraumes bilden. Das kann wohl kaum allgemein gelten, oder? D.h. unter welchen Bedingungen sind die Lösungen (die Lösungsfunktionen) der Gleichung
 für einen Operator F der auf einen Funktionenraum (welchen?! Quadratintegrabel auf ganz R?) definiert sein möge, derart, dass sie gemeinsam eine Basis des (mutmaßlich) Definitionsbereichs des Operators F bilden? Das kommt mir bisher in der Quantenmechanikliteratur etwas zu kurz. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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Namenloser324
Gast
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| Namenloser324 Verfasst am: 19. Apr 2017 22:59 Titel: |
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Sehr interessant, danke  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 20. Apr 2017 02:04 Titel: |
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Ich halte das nicht für uninteressant.
Ein Operator A hat sicher dann einen vollständigen Satz an verallgemeinerten Eigenzuständen, wenn er selbstadjungiert auf dem gewählten Hilbertraum H ist.
"Symmetrisches A" ist i.A. nicht hinreichend, da dies für unendlich-dimensionale Hilberträume keine gleich starke bzw. keine identische Eigenschaft zu selbstadjungiert ist. Z.B. ist der Impulsoperator beschränkt auf die positiven reellen Zahlen problematisch.
"Verallgemeinerte Eigenzustände" ist nötig insbs. für das kontinuierliche Spektrum; diese Zustände liegen im Abschluss des Hilbertraumes.
Es gibt auch Fälle für nicht-symmetrisches A, wobei dennoch ein vollständiger Satz an Eigenzuständen existiert; ich kenne den Fall der (überabzählbaren und über-vollständigen) kohärenten Zustände |z> als Eigenzustände zum Vernichtungsoperator a mit a|z> = z|z> für beliebiges komplexes z. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 20. Apr 2017 19:33 Titel: |
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| Namenloser324 hat Folgendes geschrieben: |
In der QM entwickelt man häufig Zustände nach Eigenfunktionen eines Operators F. Mir stellt sich die Frage unter welchen Bedingungen die Eigenfunktionen eine Basis eines Hilbertraumes bilden. Das kann wohl kaum allgemein gelten, oder?
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Richtig. Die Orts- und Impulsoperatoren auf dem ) haben z.B. nicht eine einzige Eigenfunktion, wie man leicht zeigen kann. Eigenvektoren gehören im allgemeinen zu den diskreten Werten aus dem Spektrum.
| Zitat: |
D.h. unter welchen Bedingungen sind die Lösungen (die Lösungsfunktionen) der Gleichung
für einen Operator F der auf einen Funktionenraum (welchen?! Quadratintegrabel auf ganz R?) definiert sein möge, derart, dass sie gemeinsam eine Basis des (mutmaßlich) Definitionsbereichs des Operators F bilden? Das kommt mir bisher in der Quantenmechanikliteratur etwas zu kurz. |
Dies dürfte bei selbstadjungierten Operatoren (also den typischen QM-Observablen) genau dann der Fall sein, wenn sie ein ausschließlich diskretes Spektrum haben.
Im Falle eines Operators mit kontinuierlichem Spektrum gilt der Spektralsatz. Der liefert aber i.A. keine Eigenzustände, sondern projektor-wertige Maße, also die kontinuierliche Verallgemeinerung der Schar von Projektoren
|a_i\rangle\langle a_i|,)
die im diskreten Fall auf die Eigenräume des Operators zu Eigenwerten kleiner  projizieren.
Allerdings liefern diese Maße auch genau die physikalisch relevante Information aus der Spektralzerlegung, wie Aufenthaltswahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte etc.
Insbesondere ist z.B. die Ortsaufenthaltswahrscheinlichkeit im Intervall  im Zustand  nichts anderes als der Erwartungswert
 = \langle\psi |P_aP_b\psi\rangle.) |
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