Eigenfunktionen erkennen

Clare · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich will bestimmen ob y(x) ein Zustand scharfer Energie ist und oder einen scharfen Impuls hat.

Meine Ideen:
Ich habe eine Lösung gefunden in der damit argumentir wird das Y(x) keine Eigenfunktion von P ist und daher nicht scharf ist. Aber Y(x) Eigenfunktion von der Energie.
Ich weiß wie Ich die Energie mit der Schrödinger Gleichung berechnen kann, aber wie erkenne ich ob es eine Eigenfunktion ist?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Sind Eigenfunktionen nicht quasi Eigenvektoren?
Schwacher Erinnerung nach

?

Clare · Gast

ich kann mich noch an Eigenwerte erinnern die wir mit einer Determinante berechnet haben, aber was Eigenvektoren sind oder Eigenfunktionen weiß ich nicht.
Ich weiß auch nicht wie ich anhand der des zusammenhangs Hy(x) = Ey(x) erkennen soll was jetzt scharf ist.

hilfe

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Das lief, glaube ich, auf partielle Differentialgleichungen hinaus (in der Ortsdarstellung??), je nachdem, wie das Potential aussieht; zum Beispiel für das Elektron im Zentralfeld als Wasserstoffatom Modell mit den bekannten Orbitalen, Quantenzahlen usw. Rechnerisch spielte die Wahl entsprechender Koordianten eine wichtige Rolle dabei.

- · Gast

Wenn eine Funktion

Eigenfunktion zu einem Operator

sein soll, muss gelten

. Dann ist

gerade der zugehörige Eigenwert.

Will man also für eine Funktion praktisch überprüfen, ob sie Eigenfunktion zu einem Operator ist, wendet man den Operator auf die Funktion an, und prüft, ob das Ergebnis proportional zur urpsrünglichen Funktion ist.

Clare · Gast

könnt ihr mir mal zwei einfache Beispiele zeigen, in dem das so ist und wo es so nicht so ist?

Wenn ich aber nur Y(x) kenne, woher weiß ich den was der Eigenwert ist?

AY= aY
gilt doch immer?
Y ändert sich ja nicht, also ist der vor Faktor doch gleich.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

ein simples Beispiel:

nehmen wir an dein Hamiltonian hat die Form

und du hast eine Funktion

und sollst nun prüfen ob es eine Eigenfunktion ist. Du wendest den Opeartor einfach auf die Funktion an:

und siehst, dass der Operator angewendet auf die Funktion wieder die Funktion selbst ausspuckt nur mit einem konstanten Vorfaktor. Das bedeutet, dass y eine Eigenfunktion zu diesem Hamiltonian ist. Versuche doch mal zu überprüfen ob die Funktion

eine Eigenfunktion zu diesem Operator ist.

Für deine Aufgabe bedeutet es, dass du den Hamiltonoperator gegeben haben musst um zu überprüfen ob dein y eine Eigenfunktion ist.

gruß, bishop

Clare · Gast

das wäre dann

Hy = d²/dx² y = d²/dx² exp(-wx²) = w²x(x-1)exp(-wx²) = w²x(x-1)y
damit wäre das keine eigenfunktionm, da der Hamilton Operator nicht konstant ist und von x abhängt?

was bedeutet den scharf?
exakt bestimmbar? wie bestimmt man das?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

In deinem Beispiel ist es nicht so, dass "der Hamilton Operator nicht konstant ist und von x abhängt". Das kann im Grunde immer passieren, wenn du z.B. einen Potentialterm mit V(x) dabei hast.

Nochmal grundsätzlich: Gegeben ist ein (eindimensionaler) Hamiltonoperator der Form

Gesucht sind Eigenfunktionen, d.h. Lösungen der Gleichung

Der Index n deutet an, dass es mehrere Lösungen mit verschiedenen Energien geben kann. Unabhängig davon wie man eine solche Gleichung löst, kann man leicht überprüfen, ob eine gegebene Funktion eine Lösung ist.

Versuchen wir das für deine Wellenfuntion

Anwendung des Hamiltonoprators (hier mit V=0) liefert zunächst (kleine Korrektur zu deiner Rechnung)

D.h. statt eines konstanten Faktors bekommst einen x-abhängigen Term.

Nun betrachten wir wieder die ursprüngliche Schrödingergleichung. In deinem Fall hättest du eine "Lösung" der Gleichung

D.h. an der Stelle, wo üblicherweise die konstante Energie steht, steht hier eine x-abhängige Funktion. Die verwendete Wellenfunktion ist also offensichtlich keine Lösung dieser Schrödingergleichung (sie ist eine Lösung für eine andere Schrödingergleichung mit einem anderen Potentialterm V(x) - wir hatten hier ja V(x)=0 angenommen).

Es ist also nicht so, dass wie du schreibst "der Hamilton Operator nicht konstant ist und von x abhängt", sondern dass eben einfach keine Lösung vorliegt; der Hamiltonoperator bleibt, wie er ist.

Was bedeutet das? Nun, das bedeutet, dass die versuchsweise eingesetzte Funktion keine Lösung der Schrödingegleichung für das freie Teilchen mit V(x)=0 ist, d.h. dass es sich dabei nicht um einen Energieeigenzustand handelt, d.h. dass die Energie des Zustandes nicht scharf definiert ist.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Zu deiner ursprünglichen Fragestellung: Man kann allgemein die Unschärfe einer Observablen in einem beliebigen Zustand berechnen; im Falle eines Eigenzustandes ist diese Unschärfe natürlich Null, die Defintion erlaubt jedoch die Berechnung ohne die Einschränkung des Eigenzustandes.

Man definiert

und

Weißt du, wie man dieser Erwartunsgwerte berechnet?

Clare · Gast

nein

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Sagt die die Formel

(wobei A z.B. für die Operatoren x, p, H, ... stehen kann) etwas?

Clare · Gast

gesehen habe ich sie, aber mehr auch nicht

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Und woran scheitert das Verständnis? Habt ihr keine Erklärung bekommen?

Clare · Gast

ne,ich habe das nur mal im internet gefunden, aber in der schule haben wir das nicht benutzt, daher habe ich es mir nicht weiter angeschaut

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Du gehst noch zur Schule? D.h. du benötigst ein Buch über Quantenmechanik, das mit einem Minimum an mathematischem Vorwissen (Abi-Niveau) auskommt? Wie kommst du dennoch zur Schrödingergleichung?

Schau dir mal von Feynman "QED: Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie" an.

Ansonsten können wir gerne die Bedeutung derartiger Formeln diskutieren, aber du musst Verständnis haben, dass das etwas Zeit braucht.

Clare · Gast

ja das wäre nett, es geht auch weniger um den schul unterricht.

also ich habe rausgefunden das |a> ein Zustand a definiert und Bra genannt wird und das <a| das Konjugiert Komplexe ist und Ket genannt wird.
Was soll ich mir jetzt aber unter einen Zustand vorstellen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Ein Zustand die ist Gesamtheit dessen, was man über ein quantenmechanisches System wissen kann. Das klingt zunächst sehr abstrakt.

Aus einem derart abstrakten Zustand kann man konkrete Darstellungen ermitteln, z.B. eine Wellenfunktion. Andere Darstellungen sind möglich, z.B. kann man den Zustand als Vektor auffassen. In einfachen Fällen, z.B. einem Spin 1/2 Teilchen mit zwei möglichen Basiszuständen = Basisvektoren (Spin up und Spin down) hat man zwei Vektoren (1,0) und (0,1).

I.A. werden die Komponenten eines solchen Vektors komplexe Zahlen sein. Ein Bra entspricht dem adjungierten Vektor, d.h. man macht aus einem Spaltenvektor durch Transposition einen Zeilenvektor und konjugiert außerdem jedes Element komplex. Die Kombination "Transposition t + komplexe Konjugation *" wird mit dem Symbol † für "hermitesche Konjugation" gekennzeichnet. Ein Operator ist in diesem Bild eine auf die Vektoren wirkende Matrix (kennst du schon?)

I.A. werden die Vektoren leider unendlich-dimensional; das ist einer der Gründe, wieso eine kompaktere Notation, z.B. der abstrakte Ket Vorteile bringt. Wellenfunktionen sind dann hilfreich, wenn man sich das System "im Raum" vorstellen möchte; Bras und Kets "leben" dagegen in einem anderen Raum, einem unendlich-dimensionalen, sogenannten Hilbertraum.

Wenn du schon mal den Begriff "ebene Welle" gehört hast, wäre das ein guter Ansatzpunkt, um Wellenfunktionen und Operatoren zu erklären.

Clare · Gast

phu,
so nicht so schnell bitte.

also ein Zustand ist ein Schuhkarton wo ich verschiedene Eigenschaften reinpacken kann?
Wie meinst du jetzt das man den Zustand als Vektor auffassen kann?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dir mit der Erklärung einen Gefallen tue. Ich glaube, ein Ansatz über die Wellenfunktion ist wesentlich anschaulicher.

Trotzdem ganz kurz zu dem Zustand:

Betrachten wir das Wasserstoffatom. Jede Lösung der quantenmechanischen Gleichungen - also jede Wellenfunktion - hat bestimmte Eigenschaften, z.B. Energie, Drehimpuls usw. Man kann diese Beschreibung in Wellenfunktionen verpacken, man kann aber auch eine abstrakte Notation einführen, sogenannt Zustandsvektoren, im Falle des Wasserstoffatoms |nlm>

n steht grob für die Energie - genauer die Hauptquantenzahl, l für den Drehimpuls und m für eine weitere quantenmechanische Eigenschaft des Drehimpulses, soetwas wie dessen Richtung. n, l, m sind ganze Zahlen.

Nun hat dieser Zustand |nlm> Eigenschaften wie ein Vektor, z.B. kann man Länge, Richtung und Skalarprodukt definieren. Hätten wir n=1,2,3 und wären l und m nicht da, so könnte man |n> als Vektor im dreidimensionalen Raum auffassen, wobei die Länge jeweils 1 ist und n die drei Achsen (Basisvektoren) durchnumeriert. Leider ist jedoch n=1,2,3,...; l=0,1,...,n-1 und m=-l, -l+1, ..., +l und somit haben wir Vektoren |nlm> die eine Basis in einem unendlichdimensionalen Raum darstellen.

Lassen wir es lieber bei den Wellenfunktionen, oder? Wenn dir das mit dem Zustand einigermaßen klar ist, kann ich erklären, wie man daraus die Wellenfunktion ableitet.

Clare · Gast

Hallo,

also ich fasse mal zusammen,
es gutb Zustände |a>, die wie Vektoren Betrachtet werden können. Dabei stellen diese "Vektoren" keine Betrachtung im Raum da, also keine Koordinaten, sondern haben lediglich gleiche/selbe Eigenschaften. Zum Beispiel kann man eine ONB bilden, mit der man jede Wellenfunktion(???) mit den Parametern n, m und l darstellen kann. Bzw man kann die Länge bestimmen die Nomiert ist auf 1 (aufenhenthalts Wahrscheinlichkeit(???)).

Also man muss weg von der Vorstellung Vektor = Koordinaten (x, y, z,...) oder?

LG
Clare

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Clare · Gast

ich glaub ja, also weiter

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Betrachten wir eine Zustandsvektor, der durch die Quantenzehlen n, l und m des H-Atoms beschrieben wird. Betrachten wir außerdem einen Zustandsvektor, der einem exakt bei x lokalisierten Teilchen entspricht (die beiden Zustandsvektoren beschreiben völlig unterschiedliche Zustände und haben erstmal nichts miteinander zu tun).

Dann ist die Wellenfunktion des Zustandes |nlm> gegeben durch die Projektion

D.h. dass die Wellenfunktin (im Ortsraum) genau den Komponenten des Vektors |nlm> bezogen auf die Basis |x> entspricht.

Man kann dann den Zustandvektor auch schreiben als

Hier steht die Verallgemeinerung des bekannten Ausdrucks

Wobei die v_n den Komponenten bezogen auf die Basisvektoren e_n entsprechen.

Insofern ist eine Wellenfunktion (im Ortsraum) nur eine spezielle Darstellung eines Zustandes bzgl. einer speziellen Basis - hier der Basis |x>. Man könnte auch andere Basen wählen, z.B. die Basis der |nlm> selbst. Die Wellenfunktion ist teilweise rechnerisch einfacher zugänglich, teilweise benötigt man sie auch, um eben eine Vorstellung der Vorgänge im Ortsraum zu erhalten, es gibt aber auch Fälle, in denen andere Darstellungen vorteilhaft sind.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Noch eine Anmerkung: neben der Projektion auf |x>, d.h. der Komponenten bzgl. der |x> Basis kann man auch eine Projektion auf die |nlm> Basis, d.h. die Komponenten bzgl. dieser Basis berechnen.

Das funktioniert nun so wie im Falle normaler Vektoren auch, d.h.

d.h. dass das Skalarprodukt zwischen zwei Basisvektoren genau dann gleich Eins ist, wenn m=n; ansonsten Null.

Im Falle der Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms (ein Satz von Basisvektoren in einem unendlich dimensionalen Raum n=1, 2, ...; l=0, 1, ...; m=-l, -l+1, ..., +l) sieht das wie folgt aus:

Clare · Gast

hallo,

sorry ich hatte probleme mit dem inet.

können wir weiter machen? smile

gut also wir haben diese zustände, wenn ich jetzt schreibe |x> sagt mir das aber doch nichts über das system aus oder?
wie rechne ich jetzt mit |x>?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Können wir besser mit |nlm> rechnen? Das ist mathematisch einfacher.

Und was möchtest du denn genau rechnen? welche konkrete Fragestellung hast du?

Clare · Gast

klar können wir auch,

aber ich bin mir noch nicht sicher ob n, l und m schon richtig verstanden habe.
also es sind Quantenzahlen ok, was auch immer das ist.
und l ist vermutlich der Spin, was auch immer man sich darunter vorzustellen hat.
n ist die schale auf der das Elektron kreist?
und was ist m?

naja eine genaue Vorstellung habe ich nicht unter Rechnen, aber es ist bestimmt nicht beabsichtigt das man |nlm> hinschreibt und sich dann freut Augenzwinkern

das wäre ja so als würde ich sagen 3 oder?

danke

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

n ist die Hauotquantenzahl, d.h. die Schale, auf der das Elektron "kreist" ("kreist" ist streng genommen natürlich falsch).
l ist der Bahndrehimpuls, quantisiert in Einheiten des Planckschen Wirkungsquantums.
m = -l, -l+1, ..., l-1, l bezeichnet die KOmponetne des Drehimpulses in z-Richtung (ebenfalls quantisiert; Richtung ist zunächst beliebig; z ist Konvention)

Den Spin =+1/2, -1/2 habe ich hier weggelassen; er käme noch dazu, d.h. eigtl. |nlms>

Clare · Gast

hmm ok, jetzt weiß ich was die einzelnen sachen bedeuten, was ich mir aber unter einen spin oder unter m vorstellen soll weiß ich noch nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18077

Ich würde das gerne alles erklären, aber die Zeit das alles aufzuschreiben, ist berenzt. Wäre es nicht besserm sich anhand eines allgemein zugänglichen Textes da durchzuarbeiten und konkrete Fragen dazu hier zu beantworten?

Ich habe im LK Physik angefangen, den Mayer-Kuckuck zu lesen:

http://books.google.de/books?id=hKkZi1j-XfsC&printsec=frontcover&dq=mayer+kuckuk&hl=de&ei=q7d3TfvkFcTdsgaN99D0BA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CD4Q6AEwAQ

http://books.google.de/books?id=hKkZi1j-XfsC&printsec=frontcover&dq=mayer+kuckuk&hl=de&ei=q7d3TfvkFcTdsgaN99D0BA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CD4Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=false

Es lohnt sich evtl. auch, den (gebraucht) zu kaufen oder in einer Bücherei auszuleihen. Man lernt und versteht eine ganze Menge der vorgestellten Themen, auch wenn man nicht alle Formel im Einzeln kapieren muss. Das Buch ersetzt keine Quantenmechanik-Vorlesung - soll es aber auch nicht.

Alternativ kannst du auch Wikipedia hernehmen, wobei da die Gefahr vesteht, dass du dich bei den vielen Links verzettelst bzw. verläufst. Ein guter Artikel ist sicher

http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik