Berechnung der Eigenfunktionen des Translationsoperators

max_doering · Anmeldungsdatum: 13.03.2011 Beiträge: 50

Hallo,
Ich möchte als Übung zur Quantenmechanik die Eigenwerte des Translationsoperators berechnen.

Als Translationsoperator mit der Eigenschaft:

habe ich

hergeleitet.

Nun möchte ich die Eigenfunktionen finden. Dafür stelle ich zunächst einmal die Eigenwertgleichung auf:

Leider habe ich keine Ahnung wie ich diese Differentialgleichung lösen soll. Hat jemand vielleicht einen Hinweis, wie ich hier vorgehen kann, oder welchen alternativen Weg man gehen kann?

schöne Grüße!
Max.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Ich würde das mittels Fouriertransformation bzw. nicht in Ortsdarstellung sondern mittels Diracnotation und Einschieben der Eins, also

versuchen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Noch etwas: wenn du einen selbstadjungierten Operator A mit Eigenzuständen |a> sowie Eigenwerten a hast

dann sind dies auch die Eigenzustände zu Operatorfunktionen

unter der Voraussetzung, dass F(A) für alle Eigenzustände definiert ist.

EDIT: Typo korrigiert - danke an para für's aufmerksame Mitlesen!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Noch einige Hinweise:

entspricht der Taylorentwicklung von psi(x).

Man löst das durch Hinschauen ;-)

mit

max_doering · Anmeldungsdatum: 13.03.2011 Beiträge: 50

Ok, jetzt wo du es sagst, erinnere ich mich wieder an die Eigenschaft von Polynomen von Operatoren und deren Eigenzuständen Augenzwinkern

Das heißt also, nur um sicher zu gehen, dass die Eigenzustände des Impulsoperators ebenfalls die Eigenzustände des Translationsoperators sind?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

So ist das.