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Herleitung des relativistischen Impuls
 
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max_doering



Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50

Beitrag max_doering Verfasst am: 07. Jul 2011 19:12    Titel: Herleitung des relativistischen Impuls Antworten mit Zitat

Hallo,
habe ein kleines Problem bei der Herleitung des relativistischen Impuls.. Ich hatte mir das wie folgt überlegt:

Die Kraft wird beschrieben durch

Für hohe Geschwindigkeiten muss beachtet werden :

Des weiteren gilt

Also gilt :


.. Wie man sieht komme ich nicht auf das gewünschte Ergebnis!

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand sagen könnte, wo in meinen Überlegungen der Fehler steckt bzw. was ich falsch gemacht habe!

MfG. M.Döring
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3479

Beitrag DrStupid Verfasst am: 07. Jul 2011 20:21    Titel: Re: Herleitung des relativistischen Impuls Antworten mit Zitat

max_doering hat Folgendes geschrieben:
Die Kraft wird beschrieben durch


Das gilt nur wenn m konstant ist.

max_doering hat Folgendes geschrieben:
Für hohe Geschwindigkeiten muss beachtet werden :


Ganz im Gegenteil. Das darf man nicht machen, weil F=m·a nicht mehr gilt, wenn die Masse nicht konstant ist.

Da Du die Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse bereits kennst, ist die Sache viel einfacher. Du musst sie nur in die Impulsdefinition p = m·v einsetzen und fertig. Die eigentliche Herausforderung besteht darin, m(v) zu finden.
max_doering



Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50

Beitrag max_doering Verfasst am: 07. Jul 2011 22:38    Titel: Antworten mit Zitat

ah ok, ich verstehe!

Habe jetzt mal ein wenig rumprobiert, und bin auf folgenden "korrigierten" Kraftansatz gekommen:



mit



... scheint mir ein wenig komisch.. stimmt das?
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3479

Beitrag DrStupid Verfasst am: 07. Jul 2011 22:59    Titel: Antworten mit Zitat

max_doering hat Folgendes geschrieben:
Habe jetzt mal ein wenig rumprobiert, und bin auf folgenden "korrigierten" Kraftansatz gekommen:



mit



... scheint mir ein wenig komisch.. stimmt das?


Das stimmt nur, wenn die Beschleunigung in Richtung der Geschwindigkeit erfolgt. Deshalb wird gelegentlich auch als longitudinale Masse bezeichnet. Die allgemeine Gleichung sieht so aus:



oder in Matrizenschreibweise



wobei I die Einheitsmatrix ist.
max_doering



Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50

Beitrag max_doering Verfasst am: 12. Jul 2011 12:55    Titel: Antworten mit Zitat

Oh ok. Danke für die Antworten!

Mich würde interessieren wie man auf die allgemeine Formel kommt!? Kennt jemand eine Herleitung bzw. weiß jemand, welchen Ansatz ich verwenden muss?
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3243

Beitrag VeryApe Verfasst am: 12. Jul 2011 14:10    Titel: Antworten mit Zitat

Die Kraft ist definiert als die Impulsänderung pro zeit

F=\frac {dp}{dt}

p1=m*v

p2=(m+dm)* (v+dv) =m*v+dm*v+dv*m+dm*dv

der letzte Term ist unendlichklein zum Quadrat






Der zweite Term ist bekannt.

der heißt m*a der erste Term könntest du ebenfalls damit deuten in dem pro dt eineStückchen masse dm das Impulslos ist auf das Bezugssystem hinzu kommt und daher in der zeit dt auf v beschleunigt werden muß.
Die Masse wächst an mit impulslosen masse stückhen.

Das heißt dieses Stückchen wird anders beschleunigt und zwar mit einer unendlich großen beschleunigung, allerdings hört man das nicht gern in der Physik aufgrund der nicht wohl definierten Beschleunigung, die sich daraus ergibt das man die verflossene zeiteinheit nicht wohldefiniert sondern gegen null gehen lässt.

F=m*a1+ dm*a2

Die physikalische einwandfreie Formel ist aber diese hier


max_doering



Anmeldungsdatum: 13.03.2011
Beiträge: 50

Beitrag max_doering Verfasst am: 12. Jul 2011 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

ok, folgendes Beispiel:



Wenn ich das dann einsetze :



Kommt mir ein wenig komisch vor.. stimmt das so?
VeryApe



Anmeldungsdatum: 10.02.2008
Beiträge: 3243

Beitrag VeryApe Verfasst am: 12. Jul 2011 19:45    Titel: Antworten mit Zitat

Nein überleg nochmal was ist mit den Beschleunigungsrichtungen in denen die Geschwindigkeit null war.

wie siehts hier mit dm/dt * v aus.
Systemdynamiker



Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 586
Wohnort: Flurlingen

Beitrag Systemdynamiker Verfasst am: 18. Aug 2011 21:30    Titel: Impuls als Basis Antworten mit Zitat

Die Herleitung der relativistischen Masse(Energie)-Impuls-Beziehung ist recht einfach, wenn man nicht von den Newtonmechanik ausgeht

http://www.youtube.com/watch?v=XK1xX2FwFMg

_________________
Herzliche Grüsse Werner Maurer
DrStupid



Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 3479

Beitrag DrStupid Verfasst am: 19. Aug 2011 15:40    Titel: Re: Impuls als Basis Antworten mit Zitat

Systemdynamiker hat Folgendes geschrieben:
Die Herleitung der relativistischen Masse(Energie)-Impuls-Beziehung ist recht einfach, wenn man nicht von den Newtonmechanik ausgeht

http://www.youtube.com/watch?v=XK1xX2FwFMg


Die Verwendung der Einsteinschen Masse-Energieäquivalenz ist hier streng genommen nicht zulässig, weil Einstein sie nur für die Ruhemasse und die Ruheenergie hergeleitet hat. Hier geht es aber um die träge Masse. Dass die äquivalent zur Gesamtenergie ist, kann man zwar leicht nachweisen, wenn man ihre Geschwindigkeitsabhängigkeit kennt, aber genau die soll ja hergeleitet werden. So funktioniert das also nicht.

Da sich die SRT von der klassischen Mechanik nur durch die Transformation zwischen bewegten Bezugssystemen unterscheidet, gehe ich bei der Herleitung von der Newtonschen Dynamik aus (die ja unabhängig von der Transformation ist) und berechne dann, was daraus bei Galilei-Transformation und Lorentz-Transformation folgt.

Zunächst einmal schränke ich die möglichen Geschwindigkeitsabhängigkeiten sinnvoll ein. Um das Relativitätsprinzip und die Additivität von Impulsen zu gewährleisten, lege ich beispielsweise fest, dass alle trägen Massen in allen Bezugssystemen die gleiche Geschwindigkeitsabhängigkeit haben sollen. Das wird gewährleistet durch



wobei f(v) eine für alle Körper und alle Inertialsysteme gleiche Funktion der Geschwindigkeit und m0 eine für jeden Körper charakteristische, aber vom Bezugssystem unabhängige Ruhemasse ist. Daraus folgt schon mal



Um Anisotropie zu gewährleisten muss sie zusätzlich richtungsunabhängig sein. Im eindimensionalen Fall (auf den ich mich hier beschränke) bedeutet das



Zur Bestimmung der Geschwindigkeitsabhängigkeit konstruiere ich ein kleines Gedankenexperiment, bei dem im Bezugssystem K ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Körper A vollständig unelastisch mit einem zunächst ruhenden Körper B kollidiert und das Kollisionsprodukt sich anschließend mit der Geschwindigkeit u weiterbewegt. Die Körper A und B haben beide die gleiche Ruhemasse m0. Das Kollisionsprodukt hat die Ruhemasse M0, von der ich nicht verlange, dass sie 2·m0 entsprechen muss. Für den Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß gilt dann



Jetzt wage ich einfach mal einen Schuss ins Blaue und vermute, dass träge Massen additiv sind. Natürlich weiß ich, dass das so ist, weil ich das Ergebnis bereits kenne, aber wenn ich es an dieser Stelle noch nicht wüsste, müsste ich es hier postulieren und anschließend prüfen, ob das Ergebnis diese Bedingung wirklich erfüllt. Damit gilt für die träge Masse des Kollisionsproduktes



Zusammen mit (2) und (4) folgt daraus



Ich brauche jetzt also nur noch die Geschwindigkeit u des Kollisionsproduktes und schon habe ich die gesuchte Geschwindigkeitsabhängigkeit. Dazu betrachte ich das Ganze in einem gegenüber K mit der Geschwindigkeit v bewegten Bezugssytem K’. Die Situation ist hier völlig symmetrisch. Es ändern sich nur die Vorzeichen. Der Körper B prallt also mit der Geschwindigkeit -v auf den zunächst ruhenden Körper A und das Kollisionsprodukt bewegt sich anschließend mit der Geschwindigkeit



Wie es jetzt weitergeht, hängt von der Transformation ab:

Nach der in der klassischen mechanik gültigen Galilei-Transformation gilt



Das ergibt mit (6)



Im Rahmen der klassischen Mechanik ist die träge Masse also bezugssysteminvariant, was wohl niemanden sonderlich überraschen wird.

Beim Wechsel zur SRT wird die Galilei-Transformation durch die Lorentz-Transformation ersetzt. Daraus folgt für die Geschwindigkeit



Zusammen mit (1) und (6) ergibt das die bekannte relativistische Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse:



Und weil die Geschwindigkeit da im Quadrat steht, gilt die nicht nur für den eindimensionalen Fall, für den ich sie hier hergeleitet habe, sondern auch im dreidimensionalen Raum.

Um meine obige Vermutung bezüglich der Additivität von trägen Massen zu prüfen, stelle ich nun eine Beziehung zu einer Größe her, von der ich weiß, dass sie additiv ist - nämlich der Energie. Wenn an einem geschlossenen System nur mechanische Arbeit verrichtet wird, ist die Änderung seiner Energie gleich der verrichteten Arbeit:



Aus der Newtonschen Impulsdefinition und (11) folgt



und daraus ergibt sich das Differential



zusammen mit (12) führt das zu überraschend einfachen Gleichung



Die Integration ergibt zunächst



und mit der Äquivalenz von Ruhemasse und Ruheenergie (die Einstein schon freundlicherweise für mich hergeleitet hat) folgt schließlich die Äquivalenz von Energie und träger Masse:



Aus der bekannten Additivität der Energie



ergibt sich daraus zwingend die Additivität der trägen Masse:

franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Aug 2011 21:52    Titel: Antworten mit Zitat

Man könnte auch, gaube ich, Bewegungsgleichungen aufstellen, die aus Vierervektoren und Konstanten bestehen und in der Form dem NEWTONschen Gesetz entsprechen. Bleibt "nur" die Frage nach der Struktur der Viererkraft. grübelnd
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