Kopplung von zwei Oszillatoren

Benito · Gast

Meine Frage:
Hallo,
Ich hab folgende Aufgabe bekommen:

Der Hamilton-Operator für ein System aus zwei Massen M und m mit M>>m soll lauten:

Betrachten Sie das Problem zunächst klassisch. Stellen Sie die klassischen Bewegungsgleichungen für

und

auf und bestimmen Sie die Eigenfrequenzen.

Meine Ideen:
Mein Anfang ist:

Mit der hamiltonschen Bewegungsgleichung

komme ich auf folgende Bewegungsgleichungen:

und

Ich habe nun aber keine Idee für einen Ansatz und an dieser Stelle brauche ich eure Hilfe. Ich hab es schon versucht mit:

.

Aber erstens nehme ich damit meiner Meinung nach schon vorweg, dass die beiden mit gleicher Frequenz schwingen, was ich ja gar nicht weiß, und zweitens sieht das Ergebnis auch unbefriedigend aus. Wenn ich allerdings unterschiedliche Frequenzen nehme komme ich zu keiner Lösung, weil ich die eine nur in Abhängigkeit der anderen ausdrücken kann. Jetzt brauche ich Hilfe.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Es gibt zwei (äquivalente) Möglichkeiten:
1. Du bildest eine Geschickte Linearkombination aus x1 und x2, in der die DGLs entkoppeln.
2. Du schriebst das ganze als Vektor-Matrix-Gleichung und suchst dann eine Basistransformation in der die Matrix diagonal ist.

Beides ist im wesentlichen dasselbe, das zweite ist eleganter (und technisch einfacher, weil man keine Linearkombination "raten" muss).

Benito · Gast

Kannst du das mit der Vektor-Matrix Gleichung erklären? Ich versteh das nicht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Schreib die DGl für x1 und x2 mal mit x1 und x2 als Komponenten eines Vekores

.

Benito · Gast

Ah. Ich erinnere mich jetzt, dass wir sowas in Mathe hatten. Ich muss mich da erst nochmal einlesen aber ich glaub dann komm ich klar. Besten Dank!