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Oprimido
Gast
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 Oprimido Verfasst am: 10. Sep 2016 11:42 Titel: Die Wellenfunktion und ihre Darstellungen |
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Hallo, ich bin gerade dabei eine Übungsaufgabe zu lösen. Diese habe ich auch schon fast gelöst. Komme nur beim letzten Teil nicht wirklich weiter. 
Es handelt sich dabei um folgendes:
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Vorgeschichte:
Ich habe den harmonischen Oszillator mit der sog. Operatormethode gelöst.
)
)
)
)
 Aufsteigoperator
 Abstiegsoperator
 Counting-Operator
^n \left| 0 \right> \,\,; n\in\mathbb{N} \,\,; \left< n | m \right> =\delta_{n,m})
---------------------------------------------------------------------------------------
Problem:
(...)
Nun ja... Es war ein Zustand \right>:= \frac{1}{5}\left( 3 \left|0\right>+4\left|1\right>\right)) zu einer gewissen Anfangszeit  gegeben.
Diesen Zustand habe ich dann mit Hilfe der Schrödingergleichung  in der Zeit entwickelt.
D.h.:
 \right> = \exp{\left(-\frac{-i\hat{H}(t-t_0)}{\hbar}\right)} \left| \Psi (t_0) \right> = \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} \left( \frac{-i\hat{H}t}{\hbar}\right)^j \cdot \left| \Psi (0) \right> = \dots = )
So weit so gut...
Jetzt möchte aber der Aufgabensteller in der letzten Teilaufgabe ersteinmal wissen wie (Zitat) "die Wellenfunktion  = \left<x|\Psi (t)\right>) in der Ortsraumdarstellung aussieht".
Mein Problem liegt dadrin dass ich aus der Aufgabe nicht entnehmen kann was mit  gemeint ist.
Meine Vermutung ist nämlich, dass man einen Zustand in einer gewissen Dartsellung (zum Beispiel Ortsraumdarstellung) schrieben kann, wenn man sich den allgemeinen Zustand (z.B  \right > = \frac{3}{5} e^{ \frac{-i\omega t}{2} } \left| 0 \right> + \frac{4}{5} e^{ \frac{ -3 i \omega t}{2} } \left| 1\right> ) ) nimmt und diesen mit einem anderen gewissen und eindeutigen (für mich aufgrund meiner Ignoranz  noch unbekannten) Vektor aus meinem Hilbertraum skalarmultipliziert.
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Frage:
1.) Wie weit stimmt meine Vermutung?
2.) Könnte mir jemand evtl. bitte erklären wie man einen Zustand in Ortsraumdarstellung (oder einer anderen) darstellen kann? 
Ich wäre euch dafür sehr verbunden liebe Community.
Danke
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 10. Sep 2016 11:46 Titel: |
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Edit: Entschuldigung . Ichmeinte nicht skalarmultipliziert sondern das skalarprodukt bilden. Tut mir leid.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 10. Sep 2016 13:28 Titel: |
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Danke.
Also ergibt sich eine Darstellung dadurch dass man einen Zustand auf die Basis der gewünschten Darstellung projiziert.
Für die Ortsdarstellung weiß ich jetzt laut Wikipedia dass ich einen Eigenzustand (besteht die "Orts"-Basis nur aus einem Element???)  des Ortsoperators  suchen muss. Dieser Vektor erfüllt dann:
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Für meine Aufgabe habe ich dann:
=\left< x|\Psi(t) \right> = \frac{3e^{\frac{-i\omega t}{2}}}{5}\left< x|0 \right> + \frac{4e^{\frac{-3i\omega t}{2}}}{5}\left< x|1 \right>)
...und weiter??
Was geschieht mit  ??
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PS: Ich habe weiterhin in meinem Skript gelesen, dass wir von einem "abstrakte" (endlichdimensionalen ?) Hilbertraum mit "abstrakten" Zuständen  zu einem unendlichdimensionalen Hilbertraum wechseln wenn wir in die Ortsdarstellung übergehen...
Warum die einen abstrakter sein sollen ist für mich noch ein Rätsel. Ich vermute dass diese Zuständen so etwas wie Basisunabhängig sind... und erst dann von einer Basis abhängen wenn man sie in einer "darstellt".
Dann habe ich noch gelesen, dass wesentliche mathematische Schwierigkeiten dabei auftreten können die mein (begrenztes) Wissen insofern sprengen sollten.
....Der Raum der quadratintegrablen Funktionen über einem bestimmten Intervall soll dann als Hilbertraum dienen und es sollen sogenannte Pseudoeigenvektoren aushelfen.
Für die Ortdarstellung soll dann aus irgendeinem Grund folgendes gelten:
*  \}) (Ist dass eine Menge?? Und was ist hier mit  und  gemeint? Geschweige denn mit Objekten wie  also ein Vektor eines Vektors ???)
** ^\Psi(\vec{x}=Psi(\vec{r})
*** )
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 11. Sep 2016 10:58 Titel: |
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Tud mir leid. Es hat sich erneut ein Erratum in der Vorvorletzten Zeile eingeschlichen:
** \Psi(\vec{x})=\Psi(\vec{r}))
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PS2: Ich habe irgendwo in meinem Skript gelesen dass die ONB des harmonischen Oszillators gegeben ist durch:
= \frac{1}{\sqrt{\alpha}}\frac{\pi^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{2^n \cdot n!}}H_n e^{-\frac{x^2}{2\alpha^2}} )
mit Hn : Hermite-Polynome definiert durch:
 = (-)^n e^{y^2} \frac{d^n}{dy^n} e^{-y^2} )
wie komme ich auf das Ergebnis? o.o
Kann/muss man sich das evtl. über die Schrödingergleichung herleiten?
[Sorry, falls ich zu viele Fragen stelle... mich interessiert das Thema halt wirklich.]
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 11. Sep 2016 11:05 Titel: |
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Fragen über Fragen 
Fangen wir mal ganz konkret an:
| Oprimido hat Folgendes geschrieben: |
Für meine Aufgabe habe ich dann:
...und weiter??
Was geschieht mit ??
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Diese Skalarprodukte gilt es jetzt noch zu bestimmen (was rauskommen soll hast Du ja schon gefunden). Da Du hier nur die Eigenfunktionen für n=0 und n=1 brauchst ist es am einfachsten diese schnell auszurechnen und das ganze nicht für allgemeine n durchzuturnen:
1. Du weisst wie a auf den Zustand |0> wirkt.
2. Daraus folgt eine DGL für <x|0>, indem Du <x| auf 1. anwendest.
3. Die Lösung der DGL gibt Dir <x|0>.
4. Du weisst wie Du von |0> aus |1> kommst. Mit der Lösung für <x|0> liefert Dir das dann <x|1>.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 11. Sep 2016 11:14 Titel: |
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Vielen lieben Dank jh8979 !
Ich werde versuchen mit den Tipps ein bisschen zu arbeiten. Werde mich wieder melden, wenn ich was (hoffentlich) "ordentliches" ausgerechnet habe.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 12. Sep 2016 13:45 Titel: |
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Hallo,
sorry für die Wartezeit ... (mir ist etwas dazwischen gekommen...).
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Naja... Mir ist das etwas peinlich, aber ich muss leider gestehen, dass ich nicht richtig weiter komme... 
Nun ja... ich habe 1.) und 2.) soweit versucht anzuwenden um auf die gewünschte DGl für phi_0 :=<x|0> zu kommen:
)
 )
und dass ist soweit leider nur alles was ich vernünftiges habe... :C
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Aus meinem Skript weiß ich noch dass in der Ortsraumdarstellung der Orts- und Impulsoperator dargestellt werden als:
 (Warum ist das so?)
Außerdem steht da noch die DGL auf die man stoßen sollte um phi_0 berechnen zu können. Man erkennt dass die Operatoren dort in der Ortsdarstellung stehen (und dass <x| anscheinend nicht Otrsabhängig ist?):
\varphi_0 = 0)
Diese Gleichung könnte ich natürlich rasch lösen (Schritt 3.)):
^2} )
Die konstante C könnte ich dann durch Normierung bestimmen, da auch hier die Zustände orthonormal sein sollten:
^2\right)} } } = \sqrt{\frac{1}{a\sqrt{\pi}}})
Den Zustand <x|1> := phi_1 kann man sich dann bestimmt durch a^dagger (sprich den Aufsteigsoperator; Schritt 4.)) herzaubern.... wobei ich mir noch nicht ganz sicher bin wie ich dass in meine ursprüngliche DGl einbauen kann.
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Sorry falls dass zu wenig ist... bin halt noch ein Anfänger.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 16:51 Titel: |
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OK, ich habe in einem anderen Skript (...thphys.uni-heidelberg.de/~weigand/Skript-QM2011/skript.pdf ; Seite 55) gelesen dass:
Damit hätte ich wenigsten Schritt 1. bis 3. verstanden.
Ich glaube dass gilt weil:
^{\dagger} \left|0\right> \overset{\hat{A}\,\,\text{hermitesch}}{=} \left( \hat{A} \left| x \right> \right)^{\dagger} \left|0\right> = \left\{\begin{array}{ll} x \left<x|0\right>, & \hat{A}= \hat{x} \\
<br />
-i \hbar \partial x \left<x|0\right>, & \hat{A}= \frac{\hat{p}}{i}
<br />
\end{array}\right. )
,richtig?
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Teil 4. könnte ich dann einfach so ansetzen:
^n \left|0\right> )
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Fragen:
a) Warum kann ich annehmen dass der Impuls und der Ortsoperator hermitesch sind ?
b) Gilt die Gleichung auch allgemein für  ?
c) Woher weiß ich dass die Operatoren in der Ortsdarstellung genau diese Gestalt haben? (Interessiert mich sehr)
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 19:10 Titel: |
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| Oprimido hat Folgendes geschrieben: |
a) Warum kann ich annehmen dass der Impuls und der Ortsoperator hermitesch sind ?
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Das kannst Du nachrechnen, wenn Du die Operatoren kennst. Für den Ortsoperator im Ortsraum ist es eine triviale Rechnung.
Für den Impulsoperator hängt es bisschen davon ab, wie man ihn eingeführt hat (so fuehrt man ihn auch gern schon vom Beginn an als hermiteschen Operator ein und zeigt dann dass er im Ortsraum die Form hat, die er hat). Wenn Du die Form hast wie angegeben, kannst Du es ebenfalls "einfach" ausrechnen.
| Zitat: |
b) Gilt die Gleichung auch allgemein für ?
|
Welche Gleichung?
| Zitat: |
c) Woher weiß ich dass die Operatoren in der Ortsdarstellung genau diese Gestalt haben? (Interessiert mich sehr) |
Für den Ortsoperator ist es im wesentlichen die Definition des Ortsraums. Beim Impulsoperator hängt es bisschen davon ab, wie man ihn am Anfang einführt (Siehe Antwort auf 1.) 
Ich empfehle Dir, das erste Kapitel im Sakurai (Modern Quantum Mechanics) zu lesen. Dort erklärt er ausführlich die Bra-Ket-Notation und beantwortet dabei auch die obigen Fragen.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 21:14 Titel: |
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Vielen Dank jh8979!
Du hast mir sehr geholfen. 
Damit hätte ich nämlich das Wesentliche der Aufgabe schonmal berechnet und einigermaßen nachvollzogen.
(Den Sakurai habe ich glücklicherweise zu Hand / in der Uni-Biblio stehen.  )
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| Zitat: | Zitat:
b) Gilt die Gleichung auch allgemein für ?
Welche Gleichung? |
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Zu guter Letzt gibt es aber noch eine Beifrage/ Teilaufgabe dazu, die ich zwar bearbeitet habe, aber nicht richtig verstehe.
Und zwar wird verlangt (Zitat:)
"Skizzieren Sie qualitativ die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(x, t)|^2
zur Zeit t = 0 und zur Zeit t = T/2 der halben Oszillationsperiode T/2 =π ω."
---
Ich habe natürlich erstmal (mit deiner Hilfe) meine Wellenfunktion fertig ausgerechnet:
 = \left<x|\psi (t)\right> = \frac{1}{5}\left(3e^{-\frac{i\omega t}{2}} + \frac{4\sqrt{2}x}{\alpha}e^{-\frac{3i\omega t}{2}}\right) \varphi_0 )
Mit:
^2 \right)} )
(...)
Dann war meine ursprüngliche Idee (also das woran ich gewöhnt bin) das Betragsquadrat durch das Skalarprodukt auszurechnen.
Das Skalarprodukt dass ich im Ortsraum immer ansetze ist folgendes:
|b(x,t)\right> = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \,\, dx \,\, a^* (x,t) \cdot b(x,t))
Dabei kennzeichnet hier der Stern * das komplex konjugierte zu a(x,t).
Ich hatte das so angesetzt, da ich mal gelesen habe dass die Wellenfunktion im Ortsraum zu einem speziellen Vektoraum/Hilbertraum gehören. (Ein Funktionenraum der als Raum der quadratintegrablen Funktionen bekannt ist.)
Das Standard- Skalarprodukt soll dort gerade dieses sein.
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(...)
Beim anwenden von diesem Skalarprodukt komme ich auf folgendes für das Betragsquadrat:
 \right|^2 = \left< \psi (x,t) | \psi (x,t)\right> = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \,\, dx \,\, \psi (x,t)^*\cdot \psi (x,t) = \dots = \frac{146}{25}\sqrt{\pi} )
Was aber laut meiner Musterlösung volkommen falsch ist.
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Meinen Notizen zu folge lautet die Richtige Lösung schlicht:
 \right|^2 = \psi^* (x,t) \cdot \psi(x,t) )
Also einfach eine SkalarMULTIPLIKATION:
Mit dieser Methode komme ich dann auf ein total anderes Ergebnis:
 \right|^2 = \psi^* (x,t) \cdot \psi (x,t) = \frac{1}{25 \alpha \sqrt{ \pi } } \left( \frac{32}{\alpha^2} x^2 + \frac{24 \sqrt{2} \cos{ (\omega t) } }{\alpha} x +9 \right) \cdot \exp{ \left( - \frac{x^2}{\alpha^2} \right) } )
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Frage:
Warum ist das so?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 21:31 Titel: |
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| Oprimido hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | Zitat:
b) Gilt die Gleichung auch allgemein für ?
Welche Gleichung? |
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Das solltest Du Dir jetzt selber beantworten können.
| Zitat: |
Meinen Notizen zu folge lautet die Richtige Lösung schlicht:
...Warum ist das so? |
 ) ist eine komplexe Zahl, deren Betragsquadrat ist einfach .
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 21:50 Titel: |
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| Zitat: |  ) ist eine komplexe Zahl, deren Betragsquadrat ist einfach \right|^2=\psi^* (x,t) \cdot \psi (x,t)) . |
Ok.
Woran kann ich den erkennen das ) nur eine komplexe Zahl ist und ich das Betragsquadrat durch die Skalarmultiplikation ausrechnen kann bzw. das nicht aus dem Raum der quadratintegrablen Funktionen ist und ich deshalb nicht das Skalarprodukt hierfür ansetzten muss.
Ich dachte in der Ortsdarstellung gilt immer letzteres.
Danke
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 21:55 Titel: |
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ist offensichtlich eine komplexe Zahl.
\right> )
hingegen ein Zustand (Vektor) im Hilbertraum.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 22:11 Titel: |
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?
mmm...
aber wenn ich doch z.B die Schrödingergleichung im Ortsraum löse
(
Wäre dann so etwas?
\right> = \left<x| i\hbar \partial t \psi (t) \right>)
)
Sind meine Lösungen doch auch Funktionen aus einem Funktionen-Vektorraum die auf die komplexen Zahlen abbilden (also sozusagen komplexe Zahlen ) wo das Betragsquadrat durch ein Skalarprodukt berechnet wird.
Und in meiner Aufgabe sind doch
\right> =: \psi (x,t))
weiterhin meine in der Zeit entwickelten Zustände - nur anders dargestellt,... sprich in einer speziellen Basis.
Oder habe ich was falsch verstanden?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 22:17 Titel: |
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| Oprimido hat Folgendes geschrieben: |
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Das ist offensichtlich kein Zustand, sondern ein Skalar (da hier ein Skalarprodukt gebildet wurde), also hier eine komplexe Zahl.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 22:24 Titel: |
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Achso, ok.
Und die Lösungen der Schrödingergleichung in Ortsdarstellung sind dann auch keine Zustände?
Wann darf ich den das Skalarprodukt bei Wellenfunktionen benutzen?
Danke
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 22:28 Titel: |
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| Oprimido hat Folgendes geschrieben: |
Und die Lösungen der Schrödingergleichung in Ortsdarstellung sind dann auch keine Zustände?
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Man kann die Schrödingergleichung sowohl für Zustände, als auch für die Wellenfunktionen hinschrieben. Eins von beidem beschreibt Zustände allgemein, das andere nur in einer speziellen Basis (Ortsdarstellung)
| Zitat: |
Wann darf ich den das Skalarprodukt bei Wellenfunktionen benutzen?
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Ich versteh die Frage nicht so ganz. Du darfst benutzen was Du willst, aber es sollte natürlich irgendwie sinnvoll sein
Wenn Du die Wahrscheinlichkeit ausrechnen willst ein Teilchen, dass durch eine Wellenfunktion beschrieben wird, an einem bestimmten Ort zu finden, dann musst Du in der Tat das Integral über |psi|^2 in diesem Intervall ausrechnen. aber psi ist hier trotzdem <..|...|..>.
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 22:41 Titel: |
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Also gilt i.A. nicht:
| Psi |^2 = <Psi, Psi>
Dann habe ich wohl leider die Born'sche Regel falsch verstanden.
Ich dachte immer man könnte den Überlapp/(die Projektion) meines Zustandsvektors und/(auf) einen Vektor meines Hilbertraums (bzw. auf den Eigenzustand einer Observable also einem hermiteschen Operator) als Wkt. interpretieren dass ich zum Zeitpunkt einer Messung diesen Zustand messen werde.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 13. Sep 2016 22:55 Titel: |
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Es gilt  = \left<x| \psi \right>) und  und W'keit(sdichte) = |^2 = |\left<x|\psi \right>|^2) , etc.. das sieht alles ähnlich aus, ist aber unterschiedlich...
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Oprimido
Gast
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| Oprimido Verfasst am: 13. Sep 2016 23:00 Titel: |
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(Click!)
Ahhhhhhhh.... DANKE , DANKE, DANKE!!!!
Du hast meinen Horizont erweitert!
Ich Danke dir dafür.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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