Eigenwerte von Vernichtungs- und Erzeugungsoperator

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Hola, ich bin gerade bei Aufgabe b) von folgendem Aufgabenblatt (Ausschnitt):

http://up.picr.de/25721366cs.jpg

Für den Vernichtungsoperator erhalte ich die Lösung (für jedes z)

und für den Erzeugungsoperator erhalte ich die Lösung

was auch zu stimmen scheint, wenn ich ein paar Links anschaue.

Demzufolge sind die Fundamentallösungen der korrespondierenden DGLs gerade multiplikative Inverse voneinander. (Für die selben Werte von z)
Mehr kann ich daraus allerdings nicht ablesen, ein Zusammenhang zwischen den Eigenwerten erschließt sich mir nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18074

Es ist einfacher, dies zunächst für Zustände zu beweisen.

Die erste Gleichung bestätigt man sehr einfach durch Anwenden von a.

Namenloser324 · Gast

Woher kommt die zweite Gleichung? Du entwickelst |z> in irgendeiner Basis, aber woher kommen die Koeffizienten z^n/sqrt(n!)?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18074

Wende a auf diesen Zustand an, dann siehst du, dass er die Eigenwertgleichung löst. Umgekehrt kannst du auch unbekannte Koeffizienten ansetzen, a anwenden und so die Koeffizienten rekursiv bestimmen.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Okay, danke, ich probiers!