Satz von Gauss-äussere Ladungen

MrPSI · Gast

Hi.

Beim Satz von Gauss heisst es ja, dass äussere Ladungen nicht in die Berechnungen einfliessen, weil die elektr. Feldlinien die gausssche Fläche komplett durchsetzen und somit ihr elektr. Fluss 0 ist.
Aber wie kann man das beweisen?. Damit

gilt, muss es ja für jedes

ein

geben. Aber wie beweist man das? Oder gibt es vielleicht eine andere Methode um

zu zeigen?

Danke für jede Hilfe, mfg MrPSI

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich bin mir nicht mehr so ganz sicher, aber ich würde so vorgehen:
Du nimmst einen beliebigen Raumbereich und eine Punktladung außerhalb. Jetzt gehen die Feldlinien der Punktladung an jeweils einer Stelle in das Volumen rein und an einer anderen wieder raus. Die Winkel können unterschiedliche sein und die Entfernung auch, aber: Wenn Du einen Raumwinkelausschnitt (von der Punktladung aus gesehen) nimmst, dann muß E*dA beim Eintritt genau E*dA beim Austritt entsprechen. Das kann man sich einigermaßen einfach klar machen, wenn man sich das mal aufzeichnet. Formal beweisen geht dann sicher auch, ist aber gleich wieder aufwendiger... Du mußt Dir ja die Projektion des Flächenelementes auf eine zur Feldlinie senkrechte Ebene vorstellen und zwar bei beiden Punkten. Für die beiden Projektion beim Eintritt und beim Austritt kann man dann relativ leicht zeigen, dass E*dA identisch ist, weil ja der Radius in E ja genau so zum Quadrat im Nenner steht, wie bei dA r im Quadrat im Zähler vorkommt, sich das ganze also weg kürzt.
Also hast Du schon mal für eine Punktladung gezeigt, dass es immer ein Paar gibt, das sich weghebt und so das gesamte Integral =0 werden muß, wenn keine Ladung innen ist, natürlich... Ach ja: Du mußt natürlich mit dem Vorzeichen aufpassen, dass Du ein umgekehrtes Vorzeichen bei Eintritt und Austritt hast. Aber auch das ist einfach, weil ja die Orientierung der Fläche gerade umgekehrt sein muß relativ zum E-Feld Vektor...
Wenn das für eine Ladung gilt, kann man sich auch leicht vorstellen/beweisen, dass es für beliebig viele Ladungen und dann auch für Ladungsverteilungen gilten muß.
Reicht das als Gedankenanstoß, oder möchtest Du das wirklich mathematisch korrekt bewiesen haben? So was kann ich nämlich leider irgendwie nicht traurig

Gruß
Marco

Edit: Ich habe gerade Deine Frage nochmal gelesen und dabei festgestellt, dass ich Dir ja Fragen beantwortet habe, die Du gar nicht gestellt hattest sondern die Du selber schon wußtest! Tut mir leid... bin manchmal etwas neben der Spur!
Also ich würde Dir vielleicht dann jetzt antworten:
Gehe zuerst von einer Punktladung aus und versuche zu verstehen, dass die Projektion der Fläche immer

ist, egal wie die Fläche wirklich zum E-Vektor steht. Wenn Du jetzt noch für E einsetzt, dass es irgendwas mit

ist, dann hebt sich das r^2 jeweils weg und Du hast auf beiden Seiten den selben Wert, nur mit anderem Vorzeichen.
Das ganze kann man dann noch auf beliebig viele Punktladungen und dann auch auf kontinuierliche Ladungsverteilungen erweitern.

nochmal Edit: Ich hab mal versucht eine Skizze zu machen. Die dicken schwarzen Stücke sollen jeweils dA sein und die dünneren gelben die Projektionen. Daran solltest Du sehen können, dass die Länger meiner gelben Linien proportional zu r ist und damit die Fläche dann proportional zu r-Quadrat.
Ohje... Hoffentlich kann man das überhaupt erkennen...

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ein formaler Beweis des Gauss'schen Satzes kann über die Umwandlung des Oberflächenintegrals in eine Volumsintegral erfolgen. Stell Dir vor, das Innere des Volumens ist in lauter kleine Elementarquader zerlegt.

Der Fluss durch die Würfelseiten (wobei gegenüberliegende Seiten jeweils subtrahiert werden) ist dann:

Wenn man sich nun das Volumen durch Würfel zusammmengesetzt denkt, und berücksichtigt, dass sich die Flussbeiträge von gemeinsamen (angrenzenden) Würfelseiten aufheben (entgegengesetzte Zählrichtung), so erkennt man, dass letztlich nur die ganz äusseren Würfelseiten beitragen, d.h. jene die an der Oberfläche des Körpers liegen. Zeichne Dir mal so einen Würfel auf und versuche das zu verstehen. Ich weiss nicht ob es Dir klar ist, wie man darauf kommt. Aber Du solltest versuchen das zu verstehen - ist eine gute Übung.

Der Gesamtfluss ist daher die Summe der Beiträge der einzelnen Würfel :

Coulombfeld einer Ladung:

Eine einfache Rechnung zeigt dass der Ausdruck

für ein Coulombfeld Null ist. Dieser Ausdruck ist übrigens die sog. Divergenz eines Feldes (nur falls Du das noch nicht kennst)

MrPSI · Gast

Erstmal Danke für die Antworten und Mühen. Gott

@as_string: was ist r? mMn ist nicht ersichtlich was du damit meinst. Könntest du das bitte etwas genauer ausführen.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

ach so, ja... also r wäre der Abstand von der Punktladung... mehr nicht Prost

Gruß
Marco

MrPSI · Gast

und wieso wird dann projiziert? dadurch wird die Fläche und der Winkel zw. Flächenvektor und E-Feld-Vektor verändert. grübelnd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also... etwas schwierig zu erklären so über's Netz. Ich versuch's trotzdem mal, aber wenn's unverständlich ist, einfach nochmal fragen, ok?
Wenn Du vektoriell eine Fläche betrachtest, dann macht man das ja normalerweise so, dass man sie mit einem Vektor beschreibt, der senkrecht auf der Fläche steht und dessen Länge (oder Betrag wohl besser) dem Flächeninhalt entspricht.
Wir betrachten jetzt mal einen kleinen Ausschnitt aus der Oberfläche des 3D-Raumgebietes, also ein

. Wir wollen ja das Integral über

bilden. Ich habe jetzt mal die Konstanten beim E-Feld zu c zusammengefaßt. Die sind hier nicht weiter wichtig...
D. h. wir haben den Vektor r, also ein Vektor, der von der Punktladung bis zum kleinen Flächenelement zeigt, mit dem Betrag von eben dieser Entfernung und der RIchtung von Punktladung zu Flächenstückchen. Die Formel für's E-Feld sagt, dass das E-Feld an dieser Stelle genau diese Richtung hat (oder die entgegengesetzte, je nach Vorzeichen derl Ladung, aber das braucht uns hier jetzt auch erstmal nicht zu interessieren...). Jetzt das Skalarprodukt mit dem Flächenvektor. Skalarprodukt ist ja Betrag E mal Betrag der Fläche mal den cos vom Winkel zwischen den beiden Vektoren. Das ist das selbe, wie wenn Du den Flächenvektor erstmal "auf die Richtung des E-Feld Vektors projizierst", und dann die Projektion mit dem E-Feld Vektor-Betrag multiplizierst. Das solltest Du eigentlich schon wissen (hoffentlich kommt das jetzt nicht doof rüber... falls Du das doch nicht weißt...), weil das eigentlich immer behandelt wird, wenn man Skalarprodukt macht. Nur weil das eine Fläche ist, ändert das nichts daran. Man kann sich das eher geometrisch dann so vorstellen, dass man den Flächeninhalt einer Projektion des Flächenfetzens auf eine zum E-Vektor senkrechte Fläche nimmt und diese mit dem Betrag des E-Feld-Vektors multipliziert. Das ist das selbe nur eben umgekehrt. War das eigentlich genau Deine Frage, oder habe ich Dich falsch verstanden? Wenn der Punkt noch nicht klar ist, dann frag nochmal. Dann weiß ich wenigstens, wo genau es hakt...
Diese projizierte Minifläche nennt man dann übrigens auch Raumwinkel, wenn man sie noch durch r² teilt.
Anschaulicher kann man sich das vielleicht so vorstellen: Setz Dich mal gedanklich mit Deinem Auge genau auf dei Punktladung. Wenn jetzt irgendwo im Raum eine Fläche steht, siehst Du von der ja nur eine Projektion. Das ist genau, was auch die Punktladung von unserem dA sieht dann... Vielleicht ist das so wie so eine gute Vorstellung, überlege ich mir gerade: Je weiter dieses Flächenstück von Dir weg ist, desto kleiner erscheint es Dir dann ja auch. Genau wie das E-Feld, das immer kleiner wird, je weiter es von der Punktladung weg ist. Man kann sich leicht ausrechnen, dass die Fläche, die Du siehst, also die projezierte Fläche um den Faktor r² verkleinert, genau dem Fluß durch diese Fläche entspricht. Das ist aber eben eine Besonderheit von diesen 1/r²-Feldern. Der Fluß durch eine beliebige Fläche im Raum ist also proportional zu dem Raumwinkel, den diese Fläche von der Ladung aus gesehen abdeckt. Wenn Du Dir jetzt ein geschlossenes Raumgebiet vorstellst, dann ist es leicht ein zu sehen, dass die Fläche, die Du auf der Vorderseite siehst, genau der Fläche entsprechen muß, den Du auf der Rückseite hast, wenn der Körper durchsichtig wäre.

Ohje... Ich habe jetzt alles x-fach erklärt, aber kein einziges Mal besonders verständlich. Ich hoffe, Du kannst trotzdem etwas damit anfangen...

Gruß
Marco

MrPSI · Gast

deine Erklärung ist gar nicht schlecht.
Ich glaube es jetzt verstanden zu haben. wenn nicht, dann meld ich wieder. Werd mich also, sobald ich wieder Zeit hab, dem Beweis widmen.

Danke nochmals für eure Mühen.