Rechtecksfunktion bestimmtes Integral berechnen

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Meine Frage:
Als Annäherung an die

-Funktion betrachten wir die Rechtecksfunktion

Berechnen Sie das bestimmte Integral

Meine Ideen:
Das Prinzip hinter der Rechtecksfunktion als Annäherung der

-Funktion habe ich glaube ich mittlerweile ganz gut verstanden, in den folgenden Aufgaben sollten wir z.B. mithilfe von

unterm Integral die stelle

einer beliebigen Funktion

approximieren und zeigen, dass der limes für

von

die

-Funktion ergibt. Das habe ich auch ganz gut hinbekommen. Bei dieser Aufgabe bin ich allerdings etwas verwirrt; soll x' und dx' irgendetwas mit einer Ableitung implizieren? Und wie gehe ich mit dem x als Integrationsgrenze um? Das Rechteck der Funktion müsste ja einen Flächeninhalt von 1 haben, ansonsten ist die von der Funktion umschlossene Fläche 0, aber das ist denke ihc mal nicht das Gefragte... Bin hier etwas ratlos weil ich die Aufgabe nicht wirklich verstehe, wäre für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar smile

Duncan · Gast

x' ist die Integrationsvariable.
Das bestimmte Integral ist eine Funktion f(x) von x.
Man sieht sehr oft, dass Integrationsgrenze und Integrationsvariable mit dem selben Buchstaben bezeichnet werden (Physiker und Ingenieure machen das).
Die ist jedoch mathematisch falsch - Also bitte immer verschieden Buchstaben verwenden. (Man könnte z.B. anstatt x' auch u schreiben. Mit dem Einsetzen der Grenzen fällt dieser Buchstabe ja weg).

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Hey, danke, das hilft schonmal etwas weiter. Allerdings weiß ich immer noch nicht so recht, wie ich mit x als Integrationsgrenze umgehen soll. Die Stammfunktion meiner Rechtecksfunktion wäre ja eine Rampenfunktion, die in einem Bereich

rechts und links des Ursprungs mit einer Steigung

verläuft, ansonsten mit der Steigung 0. Das bedeutet, dass der Wert des Integrals von der oberen Grenze wie folgt abhängt: ist

, so beträgt das integral 0 + C. Ist

so beträgt das Integral 1 + C. Für alle x-Werte dazwischen liegt der Wert zwischen 0 und 1 (+C). Wäre das nun bereits die Lösung der Aufgabe? Oder kann man hier anders vorgehen? Finde leider sonst wirklich nicht viel dazu und das wäre mein einziger Ansatz...

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Komme aus eigenem Antrieb leider nicht so wirklich voran, habe auch schon herausgefunden, dass man die Rechtecksfunktion allgemein benutzt, um eine andere Funktion im Integral abschnittsweise zu betrachten, wobei man dann die Rechtecksfunktion im Integral mit 1 ersetzt und deren Grenzen als Integralgrenzen nimmt. Macht soweit ja auch Sinn, nur habe ich das immer nur bei unbestimmten Integralen gesehen und bei einem bestimmten Integral macht das doch eigentlich keinen Sinn? Oder bin ich nur zu blöd? Wäre für Hilfe wirklich dankbar!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Könntest Du denn das bestimmte Integral

berechnen?

Viele Grüße
Steffen

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Das Integral müsste ja per Definition schon 1 sein, da es sich um ein Rechteck mit den Seiten Delta x und 1 durch Delta x handelt, ansonsten ist die Rechtecksfunktion 0. Wie das nun ''richtig'' zu berechnen wäre, bin ich mir nicht sicher, die Sache mit den Grenzen einsetzen macht ja eigentlich nur Sinn, wenn die Rechtecksfunktion im Integral noch mit einer anderen Funktion multipliziert wird? Die Stammfunktion wäre ja eine Rampenfunktion, die ab -Delta x / 2 mit einem Anstieg von 1 durch Delta x bis auf den Wert 1 beit Delta x / 2 ansteigt, danach konstant 1 ist. Für x=-unendlich wäre der Funktionswert also 0, für x=unendlich 1, also 1-0=1.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Das Integral hätte dann für x=0 den Wert 1/2, da die Breite des Rechtecks damit

, sein Flächeninhalt somit

wäre. Nach dem selben Prinzip ist das Integral für

gleich

. Wie ich nun aber auf eine allgemeingültige Lösung für alle x komme, ist mir nicht ganz klar... Vielen Dank bis hierher schonmal und Grüße zurück!

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Genau. Wir suchen also eine Funktion

, die bis

den Wert Null hat, ab

den Wert Eins und dazwischen linear ansteigt, wie Du ja schon richtig beschrieben hast. Genau das ist dann das gesuchte bestimmte Integral.

Kannst Du diese Funktion mathematisch ausdrücken?

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Hatte inzwischen eine Idee: Es sei

Ist das so richtig?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7462

Genau das ist gesucht! (Links ist noch ein "f(x)" dazwischengerutscht.)

Viele Grüße
Steffen

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Sorry, das f(x) hatte da nichts zu suchen...

Mr. Glanz · Anmeldungsdatum: 16.01.2016 Beiträge: 12

Super, vielen Dank, du hast mich gerettet smile

Grüße auch nochmal