Vertikale Kreisbewegung: Kontaktverlust mit Boden

sisi84 · Anmeldungsdatum: 10.01.2016 Beiträge: 21

Hallo liebe Physikergemeinde,

ich fürchte ein Verständnisproblem zu einer vertikalen Kreisbewegung zu haben und hoffe ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen.

Nehmen wir an ein Massepunkt beginnt von der Spitze eines glatten Hügels nach unten zu gleiten. Bei welcher Tangentialgeschwindigkeit verliert er den "Kontakt" zum Boden?

Es fällt mir schwer diese Bedingung "Kontaktverlust zum Boden" an den Kräften festzumachen.
Wenn ich mir die wirkenden Kräfte anschaue, dann wirkt da zunächst senkrecht nach unten die Gewichtskraft. Diese lässt sich aufteilen in Tangential- und Radialkomponente. Also in eine Kraft in Tangentialrichtung und in eine Kraft zum Mittelpunkt des Kreises, die ich hier Zentripetalkraft gennant habe. Ich habe die Situation im Anhang einmal skizziert.
Da die Oberfläche glatt, also reibungsfrei ist, dürfte es meiner Meinung nach keine Kraft vom Boden auf den Massepunkt geben, also keine der Zentripetalkraft entgegengerichtete Kraft. Ist das richtig?

Wenn das also alle Kräfte sind, unter welcher Bedingung verliert der Massepunkt dann also den "Kontakt" zum Boden? Auf einer reibungsfreien Oberfläche ist Kontakt vielleicht das falsche Wort, ich nehme an gemeint ist hier, bei welcher Tangentialgeschwindigkeit der Massepunkt die Kreisbahn verlässt.
Hier weiß ich leider überhaupt nicht, welche Kräftebedingung dafür gelten muss. Vom Gefühl her würde ich sagen, wenn die Tangentialkraft betragsmäßig größer als die Zentripetalkraft wird - ich verstehe aber nicht, warum das in Abhängigkeit der Geschwindigkeit angegeben werden sollte, denn das ist doch eher eine Frage des Ortes, oder? Je weiter der Schlitten Richtung fährt, desto größer der tangentiale Anteile der Gewichtskraft und desto kleiner der Anteil der Zentripetalkraft, oder?
Das heißt ich würde die Aufgabe so lösen, dass ich den Winkel berechne, bei dem die Tangential- und Zentripetalkraft gleich sind und sagen, dass dies der Punkt ist, ab dem der Massepunkt die Kreisbahn verlässt. Theoretisch könnte man dann ja noch die Geschwindigkeit angeben, die der Massepunkt hat, sobald er den Winkel erreicht hat. Habe ich die Aufgabe richtig verstanden?

LG

PS: Der Winkel phi ist im Prinzip der Winkel von der Senkrechten (oberster Punkt des Kreises zum Mittelpunkt) zum Ortsvektor des Massepunktes (vom Mittelpunkt des Kreises aus gesehen zum Massepunkt) - ich habe ihn hier nur schon in das Kräftedreieck reingebracht.

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GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Zum Verständnis:
Der Körper hat nur solange Kontakt zum Boden, wie die Normalkomponente der Gewichtskraft größer ist als die zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft. Die Normalkomponente der Gewichtskraft wird mit zunehmenden Winkel kleiner, die notwendige Zentripetalkraft wegen der sich erhöhenden Geschwindigkeit größer. Ab einem ganz bestimmten Winkel bringt die Normalkomponente der Gewichtskraft nicht mehr die notwendige Zentripetalkraft auf, und der Körper "hebt ab".

sisi84 · Anmeldungsdatum: 10.01.2016 Beiträge: 21

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Normalkomponente und Zentripetalkraft wirken ja in die gleiche Richtung. Die Normalkomponente stammt von der Gewichtskraft. Wie entsteht dann überhaupt die Zentripetalkraft? Wie hängen Normalkraft und Zentripetalkraft zusammen (von der umgekehrten Proportionalität einmal abgesehen)?

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5868 Wohnort: jwd

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Also komm, Mathefix, so vernagelt kannst Du Dich doch gar nicht anstellen. Der Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn. Dafür ist eine bestimmte Zentripetalkraft erforderlich, die von der Normalkomponente der Gewichtskraft aufgebracht wird. Die erforderliche Zentripetalkraft ist von dem Kreisbahnradius, der Masse des Körpers und von seiner Geschwindigkeit abhängig. Da der Kreisbahnradius und die Masse des Körpers konstant sind, ist die erforderliche Zentripetalkraft also nur von der Bahngeschwindigkeit des Körpers abhängig. Die Geschwindigkeit wächst mit dem zurückgelegten Bahnwinkel, da damit die potentielle Energie abnimmt und in kinetische Energie umgewandelt wird. Sobald die kinetische Energie und damit die Geschwindigkeit so groß ist, dass die erforderliche Zentripetalkraft gleich oder größer ist als die Normalkomponente der Gewichtskraft (die ihrerseits mit zunehmendem Winkel abnimmt), hebt der Körper ab.

Du hast vollkommen unnötigerweise ein Rollen des Körpers in die Diskussion gebracht. Davon war in meinem Beitrag aber überhaupt nicht die Rede (übrigens auch nicht in der Fragestellung von sisi84, wie Du ganz richtig bemerkt hast). Aber wenn Du denn willst, können wir auch das diskutieren. Wenn der Körper rollt, wächst die kinetische Energie mit zunehmendem Winkel in genau demselben Maße wie beim Gleiten. Der entscheidende Unterschied ist nur der, dass ein Teil der kinetischen Energie in der Rotation des Körpers steckt und somit, um es mal platt auszudrücken, für die kinetische Translationsenergie nicht mehr so viel übrig bleibt. Mit anderen Worten: Die Bahngeschwindigkeit wächst bei rollendem Körper langsamer als bei gleitendem. Die Zentripetalkraft ist aber nur von der Translationsgeschwindigkeit (=Bahngeschwindigkeit) abhängig. Die Gleichheit von Normalkomponente der Gewichtskraft und erforderlicher Zentripetalkraft und damit das Abheben des Körpers erfolgt also beim Rollen erst bei einem größeren zurückgelegten Winkel als beim Gleiten.

Das prinzipielle physikalische Phänomen ist dasselbe: Um einen Körper auf einer Kreisbahn zu halten, ist je nach Masse, Kreisbahnradius und Translationsgeschwindigkeit eine bestimmte Zenripetalkraft erforderlich. Wie sonst sollte ein außenstehender Beobachter erklären können, dass ein Körper sich auf einer Kreisbahn bewegt? Das kann laut Newton II nur die Folge einer Kraft sein, die zum Mittelpunkt der Kreisbahn wirkt, die sog. Zentripetalkraft. Um damit auch gleich die Frage von sisi84

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5868 Wohnort: jwd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

sisi84 · Anmeldungsdatum: 10.01.2016 Beiträge: 21

Vielen Dank für die zahlreichen Antworten!

Ich fasse mal zusammen, wie ich die Situation jetzt verstanden habe:

Es wirkt zunächst nur die Gewichtskraft. Diese teilt sich in radiale und tangentiale Komponente. Die radiale Komponente wiederum teilt sich in Zentripetalkraft, welche notwendig ist, damit sich der Massepunkt (oder irgendein Objekt) auf der Kreisbahn bewegen kann, und in Normalkomponente, welche den Massepunkt auf die Unterlage drückt und dadurch eine entgegengesetzt gerichtete aber betragsmäßig zur Normalkomponente gleich große Normalkraft hervorruft.
Mit steigender translatorischer Geschwindigkeit des Massepunkts steigt natürlich auch die erforderliche Zentripetalkraft, die aufgebracht werden muss, um ihn auf der Bahn zu halten. Automatisch verringert sich dann natürlich auch die Normalkomponente der Gewichtskraft sowie folgerichtig die Normalkraft. Unterm Strich sinkt die Kraft, die den Massepunkt auf die Unterlage drückt immer weiter, bis sie schlussendlich 0 wird und somit der Massepunkt den Kontakt verliert. Ist das soweit korrekt?
Zur Berechnung der Geschwindigkeit reicht es demnach nach meinem Verständnis, die Normalkomponente der Gewichtskraft gleich 0 zu setzen.
Diese Normalkomponente berechnet sich aus Anteil der Gewichtskraft und Zentripetalkraft, also:

Wobei die Geschwindigkeit dann die maximal mögliche Geschwindigkeit ist, bei der der Massepunkt den Kontakt verliert. Nach ihr umgeformt ergäbe eine Gleichung für die Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels und wäre dann die gesuchte Lösung der Aufgabe. Habe ich das richtig zusammengefasst/verstanden? GvC sagte Energieerhaltungssatz, aber wenn man den Winkel nicht bestimmen muss (hatte ich glaube ich vergessen zu sagen), ist das unnötig, oder?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Bis auf die Begrifflichkeit ist das soweit ok. Ich würde die Normalkomponente nach wie vor als m*g*cos(phi) bezeichnen. Ein Teil davon ist die Zentripetalkraft. Aber wenn man Deiner etwas skurrilen Definition folgt, ist das was Du schreibst, schon in Ordnung.

Du musst den Winkel zwar nicht bestimmen, wohl aber den Kosinus davon, um die Aufgabe endgültig zu lösen.