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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
Beiträge: 14
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 Fritte Verfasst am: 26. Aug 2015 11:32 Titel: Kräfteberechnung bei thermischer Ausdehnung |
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Meine Frage:
Hallo Physiker,
ich habe Probleme bei der Berechnung einer Aufgabe und hoffe mir kann hier geholfen werden:
Ein Stab aus Stahl(d=15mm) passt bei 200°C gerade in einen Rahmen aus Alu(Dicke 15mm) dessen Öffnung bei 20°C eine Breite von 100mm hat. Wie lang muss der Stab sein?
Beide werden auf 30°C abgekühlt. MIt welcher Kraft presst der Stab gegen den Rahmen, wenn a) der Rahmen sich nicht deformiert, b) der Rahmen auch deformiert wird?
 =24*10^-6 1/K
EAlu=70 GPa
 =11*10^-6 1/K
ESt=210 GPa
Meine Ideen:
Länge des Stabes:
Größe der Öffnung Alu-Rahmen bei 200°C:
l200= l20 *(1+ * deltaT)
= 100mm* (1+ 24*10^-6 1/K * (200°C - 20°C))
= 100,432 mm
=> Der Stab muss bei 200°C 100,432mm lang sein.
Kräfte:
a)
Für die Berechnung der Kraft habe ich das Hookesche Gesetz verwendet:
Für die Dehnung infolge der Temperaturänderungen soll laut Internet der Term  angefügt werden:
Da sich bei a) der Rahmen nicht deformiert habe ich
gesetzt und nach der Kraft aufgelöst:
mit 
F= -11*10^-6 1/K * (30°C-200°C) * 2,1*10^11 Pa * \pi * (0,015m/2)^2
= 69,395 kN
Ist das bis hierher richtig? Und wie berechne ich die Kraft wenn sich der Rahmen auch deformiert?
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 26. Aug 2015 15:56 Titel: |
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So ungefähr, Fritte, nur musst 13*10^-6 nehmen und nicht 11 (24-11=13) und erhältst bei a) 87 kN
b) lässt sich nicht so einfach sagen, solange das Wort Rahmen nicht genauer spezifiziert ist - na gut, vielleicht meint der einen Rahmen, dessen zwei zu dehnende Teile 15*15mm² haben (es könnten auch 15*x sein).
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Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
Beiträge: 14
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| Fritte Verfasst am: 27. Aug 2015 12:17 Titel: |
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Vielen Dank erstmal für Deine Antwort.
Kannst du kurz erklären, warum man die Längenausdehnungskoeffizienten subtrahieren muss? Das leuchtet mir gerade nicht ganz ein.
zu b)
Ich habe die Längenänderungen bei 30°C ausgerechnet:
LAlu= 100,022mm
lSt=100,244mm
Das einzige was mir eigefallen ist, dass die Stange nun das Alu auf diese 100,244mm rausdrückt und man mit:
diese Kraft auf die aus a) addiert.
Ich stehe da echt etwas auf dem Schlauch..
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2902
Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 27. Aug 2015 18:29 Titel: Re: Kräfteberechnung bei thermischer Ausdehnung |
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| Fritte hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du kurz erklären, warum man die Längenausdehnungskoeffizienten subtrahieren muss? Das leuchtet mir gerade nicht ganz ein. |
Mir scheint, dass sich das aus der Aufgabenstellung ergibt:
| Fritte hat Folgendes geschrieben: | Ein Stab aus Stahl(d=15mm) passt bei 200°C gerade in einen Rahmen aus Alu(Dicke 15mm) dessen Öffnung bei 20°C eine Breite von 100mm hat. Wie lang muss der Stab sein?
Beide werden auf 30°C abgekühlt. MIt welcher Kraft presst der Stab gegen den Rahmen, wenn a) der Rahmen sich nicht deformiert, b) der Rahmen auch deformiert wird? |
1. Soweit sind wir einig: Bei 200°C haben sich die 100mm des Alurahmens auf 100,432 gedehnt.
2. Laut Text soll der Eisenstab bei 200°C gerade die gleiche Länge haben - es wäre auch anders denkbar, aber "passt bei 200°C gerade" läßt mich schließen, dass der Eisenstab bei 200°C eben auch 100,432mm hat.
3. Jetzt kommts: Kühlt man die Anordnung nun auf 30°C ab, wird der Alurahmen, wenn er sich nicht deformiert, 100,024 mm haben, wie Du schon ungefähr schreibst.
4. Der Eisenstab hat aber bei 20° nun x*(1m+11µ*180°)/1m = 100,432
x = 100,234 mm
und bei 30°C hat er 100,245mm
5. er muss also um (100,245mm-100,024 mm)=0,221 mm komprimiert werden, damit er in das Alu passt(wenn sich das nicht verformt).
Von dieser Differenz kommt das Minus.
6. Komprimieren
F = E*A * 0,221/100,024 = 82 kN
Das war die genaue Rechnung. Meine 87kN von oben waren für 20°C und nur ungefähr, da ich die 100,432 ungefähr gleich 100 gesetzt hatte.
Würdest Du dieser Rechnung zustimmen, Fritte?
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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
Beiträge: 14
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| Fritte Verfasst am: 28. Aug 2015 15:00 Titel: |
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Danke für diese ausführliche Erklärung! Jetzt leuchtet es mir natürlich ein! 
bei der b) weiß ich leider immer noch nicht weiter.. hättest du da evtl einen Ansatz für mich?
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 28. Aug 2015 16:04 Titel: |
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| Fritte hat Folgendes geschrieben: | | bei der b) weiß ich leider immer noch nicht weiter.. hättest du da evtl einen Ansatz für mich? |
Rechne halt mit 2 mal 15mm Vierkantalu - freilich, aus der Aufgabenstellung kann man das allerdings nicht eindeutig entnehmen.
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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
Beiträge: 14
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| Fritte Verfasst am: 31. Aug 2015 12:35 Titel: |
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Also ich habe bei b) jetzt angenommen, dass der Stahlstab den Alu-Rahmen auf die besagten 100,244mm rausdrückt.
Ich habe mit:
* 2 für beide Rahmenteile = 69,76kN
Das ist die Kraft die nötig ist um den Rahmen auf die 100,244mm zu dehnen richtig? Aber was mache ich nun?
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 31. Aug 2015 16:32 Titel: |
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So wird es nur gehen, Fritte, wenn vorgeschrieben ist, dass der Rundstab sich überhaupt nicht zusammendrückt, was allerdings nicht der Fall ist (außerdem Schreibfehler 0,015mm).
Gefordert ist, dass sich der Rundstab zusammendrückt und der Rahmen dehnt - einverstanden?
Schau Dir mal diese Zeichnung an:
Wir haben einen Eisenstab 15 mm Ø mit 100,245 mm Länge bei 30°C
der soll in den Rahmen mit der Längsöffnung 100,024 mm bei 30°C
 http://www.physikerboard.de/files/2t_154.png
Wir hatten die Geschichte erwärmt, so dass der Rundstab in den Rahmen passt und wieder auf 30° abgekühlt.
Die beiden üben nun aufeinander Druck aus (Kraft F2 noch unbekannt)
durch Zusammendrücken um Δs des Stabs (Stahl Querschnitt As=176,7 mm²)
und durch Dehnung Δr des Rahmens (ALU Querschnitt Ar=450 mm²)
(1) Δs + Δr = 100,245 mm - 100,024 mm
(2) F2 = Es*As*Δs/100,245
(3) F2 = Er*Ar*Δr/100,024
Drei Gleichungen mit 3 Unbekannten - findest Du die heraus?
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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
Beiträge: 14
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| Fritte Verfasst am: 01. Sep 2015 10:15 Titel: |
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Ich habe folgendes gemacht:
(1) Δs + Δr = 100,245 mm - 100,024 mm
(2) F2 = Es*As*Δs/100,245
(3) F2 = Er*Ar*Δr/100,024
(1) Δs = 0,221mm - Δr
(2)=(3)
}{100,245mm} = \frac{Er*Ar*deltaR}{100,024mm}
<br />
<br />
Es*As*(0,221mm - deltaR) = \frac{Er*Ar* deltaR * 100,245mm}{100,024mm}
<br />
<br />
(0,221mm - deltaR) = \frac{Er*Ar* deltaR * 100,245mm}{Es*As*100,024mm}
<br />
<br />
\frac{0,221mm - deltaR}{deltaR} = \frac{Er*Ar* 100,245mm}{Es*As*100,024mm}
<br />
<br />
\frac{0,221mm}{deltaR} - 1= \frac{Er*Ar* 100,245mm}{Es*As*100,024mm}
<br />
<br />
\frac{0,221mm}{deltaR}= \frac{Er*Ar* 100,245mm}{Es*As*100,024mm} +1
<br />
<br />
\frac{1}{deltaR}= \frac{Er*Ar* 100,245mm}{Es*As*100,024mm*0,221mm} + \frac{1}{0,221mm}
<br />
<br />
deltaR= \frac{Es*As*100,024mm*0,221mm}{Er*Ar* 100,245mm} +0,221mm)
Scheinbar habe ich irgendwo einen Umstellungsfehler, da das Ergebnis von 0,481mm ja schlecht stimmen kann.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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| isi1 Verfasst am: 01. Sep 2015 10:49 Titel: |
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Nur der letzte Schritt ist zu großzügig, denn wenn 1/3+1/4 = 1/x, dann stimmt nicht 3+4=x=7 sondern x = (3*4) / (3+4) = 1,71
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Fritte
Anmeldungsdatum: 26.08.2015
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| Fritte Verfasst am: 01. Sep 2015 13:42 Titel: |
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Oh stimmt
Dann habe ichfolgendes Ergebnis:
deltaR = 0,1194mm
deltaS = 0,1016mm
Also komme ich bei der Kraft nun auf 37,611kN.
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isi1
Anmeldungsdatum: 03.09.2006
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Wohnort: München
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| isi1 Verfasst am: 01. Sep 2015 15:29 Titel: |
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Bravo, Fritte, erster Preis! 
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Fritte
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| Fritte Verfasst am: 04. Sep 2015 16:20 Titel: |
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Vielen Dank für Deine Hilfe isi1!!!
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