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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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 Widderchen Verfasst am: 17. Jun 2015 20:18 Titel: Kernspinresonanz, Rabi-Oszillationen, etc. ... |
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Meine Frage:
Hallo,
ich habe einige Probleme mit dem folgenden Übungszettel (siehe Link):
http://www.physik.uni-bielefeld.de/~dahm/Files/theorie2/tp2-ss15-10.pdf
Meine Ideen:
Zu Aufgabe 26:
a) Zunächst stelle ich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für den Spinor auf:
 - \sigma_y \cdot \sin(\omega t)) \left| \chi \right> )
Genügt das so, oder soll ich die Gleichung noch weiter ausführen, z.B. den Hamiltonoperator auf einen allgemeinen Zustand  anwenden? Alpha und Beta sind Normierungsfaktoren (hier wohl  .
So, nun soll ich den unitären Operator auf den Hamiltonoperator und auf den Spinor anwenden. Soll ich das separat für Hamiltonoperator und Spinor tun oder die unitäre Transformation auf die gesamte Schrödingergleichung anwenden? Denn ich denke, dass das so keinen Unterschied macht.
Warum wird im Übungszettel zusätzlich die unitäre Tranformation
 genannt, wenn ich doch eigentlich nur U auf den Spinor anwenden soll oder hat das mit der vorigen Aufgabenstellung nichts zu tun?
Ich möchte zunächst einen konkreten Ansatz zu dieser Aufgabenstellung erarbeiten. Danach kümmere ich mich um die anderen Aufgabenteile.
Viele Grüße
Widderchen
Also wenn ich die unitäre Transformation auf den Spinor anwende, erhalte ich:
Wendet man U auf H an, erhält man:
 = - \mu_K B_0 \begin{pmatrix} e^{\frac{i \omega t}{2}} & 0 \\ 0 & e^{-\frac{i \omega t}{2}} & \end{pmatrix} - \mu_K B_1 \cdot \cos(\omega t) \begin{pmatrix} 0 & e^{\frac{i \omega t}{2}} \\ e^{- \frac{i \omega t}{2}} & 0 & \end{pmatrix} + \mu_K B_1 \cdot \sin(\omega t) \begin{pmatrix} 0 & -i e^{\frac{i \omega t}{2}} \\ i e^{- \frac{i \omega t}{2}} & 0 & \end{pmatrix} )
Kann man diese Ausdrücke weiter zusammenfassen?? |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 18. Jun 2015 14:54 Titel: |
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Hallo,
also ich erhalte durch Koeffizientenvergleich in Teilaufgabe a), dass  , was ich eigenartig finde. Ich habe einfach die linke und rechte Seite der Schrödingergleichung gelöst und dann miteinander verglichen und kam zu diesem Resultat. 
Nun komme ich bei Teilaufgabe c) und d) nicht weiter. Soll ich in c) die Wahrscheinlichkeit  berechnen???
Und in d) muss ich doch  ermitteln, oder verstehe ich irgendetwas falsch??
Den zweiten Teil von d) verstehe ich auch leider nicht!
Dasselbe Problem liegt mir auch bei Teil e) vor: Muss ich
 oder irgendetwas in der Art berechnen??
Zu den anderen teilaufgaben fällt mir momentan auch nichts ein! 
Viele Grüße
Widderchen |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 18. Jun 2015 22:29 Titel: Re: Kernspinresonanz, Rabi-Oszillationen, etc. ... |
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| Widderchen hat Folgendes geschrieben: |
[...]
a) Zunächst stelle ich die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für den Spinor auf:
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Du sollst die Gleichung im mitrotierten System rechnen, also mit
 .
Dann hast du da noch irgendetwas mit deinen Klammern nicht ganz richtig.
Letztendlich sollst du einen Ausdruck für  und  angeben.
Zunächst darfst du jedoch zeigen, dass das  und die dazugehörige Schrödingergleichung die Zeitentwicklung im mitrotierendem System beschreibt. |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 20. Jun 2015 23:20 Titel: |
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Hallo,
ich habe die Gleichung
 \left| \chi' \right> ) gelöst, wobei ich nicht mehr weiß, wie ich diese hergelitet hatte.
Ich habe den letzten Term mit dem adjungierten OPeratoren und Hamiltonoperator ausgerechnet und anschließend einen Koeffizientenvergleich vorgenommen, um die beiden Frequenzen  zu erhalten.
Diese lauten:  . Ich hoffe, das stimmt soweit???
Die Eigenzustände von H' zu den Eigenwerten ^2 + \Omega^2} ) kann ich irgendwie nicht ermitteln, da ich nur den Nullvektor als Lösung dieses Gleichungssystems erhalte. Was mache ich falsch??
Und wie berechne explizit in c) die Wahrscheinlichkeit, den Kernspin im Zustand  vorzufinden, wenn er zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand  war??? Stimmt der im vorigen Post genannte Ausdruck annähernd??
In den teilen d) und e) komme ich leider auch nicht weiter.
Vielen Dank für eure Hilfe soweit!
Widderchen |
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Widderchen
Anmeldungsdatum: 08.04.2015
Beiträge: 193
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| Widderchen Verfasst am: 21. Jun 2015 19:20 Titel: |
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Hallo,
ich versuche gerade, Aufgabe 26 c) dieses Übungszettels zu bearbeiten. Ich scheitere allerdings schon an der Erwartungswertberechnung: Ich soll die Erwartungswerte der Pauli-Matrizen im mitrotierenden Bezugssystem ermitteln, das heißt:
Dieses Resultat kann jedoch nicht korrekt sein. Auch bei den anderen Erwartungswerten erhalte ich komplexwertige Ausdrücke.
Gilt vielleicht  , was auch sinnvol erscheint, da U und Sigma_z kommutieren, wodurch die Erwartungswertberechnung vereinfacht wird. Aber bei den anderen Ausdrücken komme ich wirklich nicht weiter!
Zu den Aufgabenteilen d und e habe ich keinen konkreten Ansatz.
Zu Aufgabe 28 c): Hier benötige ich nur den Hamiltonoperator unter Berücksichtigung des Vektorpotentials A . Lautet dieser Operator etwa so:
^2 ) ???
Ich habe mir einfach die Hamiltonfunktion aus Aufgabe 27 angesehen und dachte vielleicht, dass der Hamiltonoperator des ebenen Rotators auch so aussehen könnte.
Muss ich dann eine Differentialgleichung lösen??
Ich verzweifle gerade an diesen Aufgaben.
Widderchen |
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