Legendre-Transformation von x-1/2

Gast2015 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich soll unter Anderem die Legendre-Transformation von

berechnen.

Es gilt ja:

Meine Ideen:
Damit hat man:

Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich u(x) nach x(u) auflösen soll, ansonsten ist das ja nur einsetzen.
Kann mir evtl. jemand sagen wie ich hier vorzugehen habe?

Wenn ich raten müsste, würde ich schätzen, dass ich irgendetwas substituieren muss, aber ich wüsste nicht wie.

Danke schon mal.

MfG

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich nehme an, gesucht ist eigentlich die Legendre-Fenchel-Transformierte, kann das sein? Denn die gegebene Funktion ist nicht konvex und einfach mit Substituieren kommst Du hier nicht weiter.

Am besten, Du schreibst erstmal die Definition hin, die Ihr in der Vorlesung benutzt habt.

PS:
http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_conjugate
d.h. für eine Funktion

ist

.
Ist das die Definition aus Eurer Vorlesung?

Gast2015 · Gast

Hallo,
also in der Aufgabenstellung steht lediglich "Legendre-Transformation" und um die Aufgabe etwas zu ergänzen, gesucht ist eigentlich die Legendre-Transformation der stückweise definierten Funktion:

Für den ersten und letzten Abschnitt der Funktion g(u) habe ich jeweils raus:

In der Vorlesung der Statistischen Mechanik haben wir die Legendre-Transformation nicht nochmal definiert. Es ist schon etwas länger her, dass ich die mal verwendet habe. Die letzte Defnition ist auch schon einige Zeit her.

Die Definition über das Supremum habe ich bis jetzt nur auf Wikipedia gesehen und in keiner Vorlesung gehabt. Wir haben soweit ich mich erinnere immer nur die von mir im Eröffnungsbeitrag gepostete Definition verwendet.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450