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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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 Joliot-Curie Verfasst am: 18. Apr 2015 18:14 Titel: Spin-Boson Modell |
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Hallo alle zusammen!
ich beschäftige mich gerade mit dem Spin-Boson Modell, und einiges ist mir dabei noch unklar. Und zwar, der Hamiltonoperator hat folgende Form:
bk + 1/2 SigmaZ \sum Lambdak (bk(dagger) + bk) )
Delta ist die Tunnelrate, SigmaX/SigmaZ die Pauli Matrizen, Lamdak die Kopplungsstärke und bk(dagger)/bk bosonische Ab- und Aufsteiger.
Nun lässt sich der Hamilton nicht exakt diagonalisieren, aber man kann sich zwei "Grenzfälle" anschauen. Zum einen den Fall Delta = 0, Tunneln ist nicht möglich, oder Lambdak = 0, d.h. es gibt keine Kopplung. Für diese Fälle müsste sich der Hamilton trivial diagonalisieren lassen.
Für den ersten Grenzfall (Delta=0) verwendet man folgende unitäre Transformation
)*(bk-bk(dagger))) )
an dieser Stelle verstehe ich nicht, wie ich die Transformation anwende, ich weiß, dass ich eigtl UHU(dagger) rechnen muss, aber ich verstehe nicht wie ich das hier formal mache, also wie ich exp(...)Omega bk(dagger) bk exp(-...) ausrechne. Vermutlich ist das sehr einfach, und eine rein formale Sache.
Bei dem zweiten Grenzfall (Lambdak=0) ist mir noch gar nicht klar, wie ich vorgehe.
Ich bin für jede Hilfe dankbar! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 18. Apr 2015 18:18 Titel: Re: Spin-Boson Modell |
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Ganz allgemein entwickelst Du die Exp-Funktionen in einer Taylorreihe und rechnest dann die Potenzen der Matrix aus. Hier kann man das ganze sogar in geschlossener Form tun. Siehe die Formel hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Matrizen#Zugeordnete_Drehgruppe.2C_Zusammenhang_mit_Spin-1.2F2-Systemen
PS: Wenn Du schon die Latex-Umgebung zum Formelschreiben benutzt, dann benutz sie doch konsequent:
 )
ist
| Code: |
[latex]
H= - \frac{\Delta}{2} \sigma_x + \sum \omega_k b_k^\dagger b_k + \frac{1}{2} \sigma_z \sum \lambda_k (b_k^\dagger + b_k)
[/latex]
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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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| Joliot-Curie Verfasst am: 18. Apr 2015 18:21 Titel: |
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Danke für die Antwort!
Sorry, ich bin mit dem LATEX-Formeleditor hier noch nicht richtig zurecht gekommen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 18. Apr 2015 18:37 Titel: |
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| Joliot-Curie hat Folgendes geschrieben: |
Sorry, ich bin mit dem LATEX-Formeleditor hier noch nicht richtig zurecht gekommen. |
Ich weiss, darum hab ich Dir das Beispiel gezeigt  Es wirkt am Anfang vllt etwas umständlich, aber mit ein wenig selber ausprobieren, lässt es sich schnell lernen. Abgesehen von vielen Erläuterungen im Netz gibt es auch bei uns einen Thread der am Anfang etwas hilft:
http://www.physikerboard.de/topic,128,-latex-und-der-formelsatz-im-board.html
(haette ich wohl gleich beim ersten Post erwähnen sollen  ) |
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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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| Joliot-Curie Verfasst am: 18. Apr 2015 20:07 Titel: |
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Danke, ich werde mir die Latex-Einführung anschauen.
Aber weiter zum Spin-Boson Modell, ich habe in einem Skript gesehen, dass man die unitäre Transformation folgendermaßen ausrechnen kann.
, b_k] )
Wieso ist die Transformation angewandt gleich  minus dem Kommutator von dem Exponenten der Transformation und ?
Und noch prinzipiell zu dem Modell, ich verstehe noch nicht ganz wie ich mir den Hamiltonoperator hier vorstellen kann.  und  sind 2x2 Matrizen, aber ohne gemeinsame Eigenzustände. Der Teil  ist aber eine höher dimensionale Matrix oder ?!
Danke im Voraus!  |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 18. Apr 2015 20:26 Titel: |
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| Joliot-Curie hat Folgendes geschrieben: |
Wieso ist die Transformation angewandt gleich minus dem Kommutator von dem Exponenten der Transformation und ?
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Einsetzen und ausrechnen.
| Zitat: |
Und noch prinzipiell zu dem Modell, ich verstehe noch nicht ganz wie ich mir den Hamiltonoperator hier vorstellen kann. und sind 2x2 Matrizen, aber ohne gemeinsame Eigenzustände. Der Teil ist aber eine höher dimensionale Matrix oder ?!
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Na ja.. b_k sind Operatoren die auf einen (unendlich dimensionalen) Verträum wirken... also in gewisser Weise schon "unendlich dimensionale Matrize" in ganz laxem Sprachgebrauch.. |
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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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| Joliot-Curie Verfasst am: 18. Apr 2015 20:58 Titel: |
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Okay, das kann ich natürlich ausrechnen. Aber das mit dem Kommutator ist nicht irgendwas was prinzipiell gilt, bzw. was man einfach sieht ?!
Ja, so habe ich mir das dimensionsmäßig vorgestellt und wie sehen dann gemeinsame Eigenzustände von beispielsweise dem Hamilton der Kopplung und dem Hamilton der Oszillatoren aus? Und wie rechne ich die Eigenzustände hier aus? Kann ich mir das einfach überlegen, also Eigenzustand von irgendwie "multipliziert" mit Eigenzustand der harmonischen Oszillatoren?
Vllt klingen meine Fragen ein bisschen blöd, aber ich versuche mir das sinnvoll vorzustellen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 18. Apr 2015 21:10 Titel: |
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| Joliot-Curie hat Folgendes geschrieben: | | Okay, das kann ich natürlich ausrechnen. Aber das mit dem Kommutator ist nicht irgendwas was prinzipiell gilt, bzw. was man einfach sieht ?! |
Ich glaub ehrlich gesagt, dass diese Formel nur bis zur ersten Ordnung in lambda gilt...
| Zitat: |
Ja, so habe ich mir das dimensionsmäßig vorgestellt und wie sehen dann gemeinsame Eigenzustände von beispielsweise dem Hamilton der Kopplung und dem Hamilton der Oszillatoren aus? Und wie rechne ich die Eigenzustände hier aus? Kann ich mir das einfach überlegen, also Eigenzustand von irgendwie "multipliziert" mit Eigenzustand der harmonischen Oszillatoren? |
Ja, das ist ein Tensorprodukt (da ist es schon im Hamiltonoperator, aber wird durch die Notation unterschlagen). |
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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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| Joliot-Curie Verfasst am: 18. Apr 2015 21:23 Titel: |
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Ok, danke für die ganzen Antworten!
Dann werde ich mal versuchen das alles nachzurechnen. |
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Joliot-Curie
Anmeldungsdatum: 18.04.2015
Beiträge: 6
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| Joliot-Curie Verfasst am: 19. Apr 2015 17:29 Titel: |
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Ich bin gerade dabei, alles nachzurechnen, und habe schon wieder ein paar Fragen.
Wieso reicht es bei der Reihendarstellung der Exponentialfunktion nur die ersten beiden Terme zu nehmen ( ) = 1 - \sigma_z \sum \frac {\lambda_k}{2\omega_k} (b_k - b_k^\dagger) ) )?
Und wenn ich den Teil  transformiere, komme ich auf
 - \frac {\lambda^2}{4 \omega} (b - b^\dagger)b^\dagger b(b - b^\dagger) )
damit es mit der mir bekannten Lösung übereinstimmt, müsste b^\dagger b(b - b^\dagger) = (-1) ) ergeben. Aber irgendwie schaffe ich nicht, es durch geeignete Kommutatorrelationen umzuformen.. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8582
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| jh8979 Verfasst am: 19. Apr 2015 19:47 Titel: |
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Wie gesagt: Ich glaub, das ist nur eine Näherung (die gut ist wenn lambda klein ist), d.h. Du darfst auch im Rest Deiner Rechnung nur Terme bis zur ersten Ordnung in lambda mitnehmen. Ich denke nicht dass die höheren Terme in U verschwinden (oder zumindest in der Transformation von b). Du könntest das natürlich mal nachrechnen, ich hab es nicht getan |
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