Differentialgleichung erstellen

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi,
ich soll folgendes Problem lösen:
Ein Fahrradfahrer (m=100kg) fährt aus dem Stand mit einer konstanten Kraft von x Newton los.
Als Gegenkraft soll nur der Luftwiderstand F(Luft) = 1 kg/m * v^2 wirken.
Also ohne Reibungsverluste.
Die Aufgabe:
Die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t bestimmen.
Das Problem soll über die Aufstellung der Differentialgleichung gelöst werden.
Ich komme bei meinen Versuchen immer zu folgender Gleichung:
m*a = k*v^2 bzw.
m* v'(t) = k*v(t)^2
Und dann hört der Spaß auf.
Bitte bringt mich wieder zum Lachen.
Ciao
deddy

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Welche Kräfte wirken denn? die konstante Kraft x und der Luftwiderstand.

wie errechne ich aus diesen zweien die resultierende Kraft die beschleunigt?

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi,
ich meine, die resultiernde Kraft wäre
F_res = F_Fahrradfahrer - F_Luftwiderstand
In Formeln:
F_res = m*a - k*v^2
Was ich mal ausgerechnet habe, ist die Kraft, die der Fahrradfahrer aufbringen muß, um eine konstante Geschwindigkeit von 36 km/h zu fahren.
Da komme ich auf 100 N.
Aber um auf die Geschwindigkeit zu kommen, muß er ja beschleunigen.
Meine Frage ist, wie lange braucht er dafür und wie ist dann seine Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt während der Beschleunigung?
Ich hoffe, es geht noch was.
Ciao
deddy

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

schnudel hat da was verhaut mit dt²

Die resultierende Kraft erzeugt die Beschleunigung, Kraft X weniger Luftwiderstand.

Diese Gleichung kann man auch so schreiben

der Term

entspricht 1/a also 1/Beschleunigung

da

ist

wenn du dir jetzt einen Graphen vorstellst wo auf der x Achse die Geschwindigkeit v aufgetragen wird und auf der y Achse 1/a also 1 durch die Beschleunigung, dann kannsd du für jeden Geschwindigkeitswert v über diese Formel

den Wert 1/a berechnen. also die Beschleunigung die bei dieser Geschwindigkeit herrscht aber eben 1/Beschleunigung.

Nun kannsd du einen bestimmten Geschwindigkeitswert v herauspicken und einen kleinen dv wert->0 (Geschwindigkeitsänderung) nach rechts gehen von -> v auf v+dv.
dieser dv Wert mit 1/a multiplizieren also die Beschleunigung die bei dieser Geschwindigkeit wirkt,
dann erhälst du dv*1/a=dv/a=dt , die Zeitspanne dt die notwendig war um diesen dv Wert zu erreichen, das entspricht der Fläche unter den Graphen.

Das heißt die Fläche unter den Graphen entspricht der Zeit die dazu notwendig war um die Geschwindigkeit von v0 auf v1 zu ändern.

Die Summe aller dt ergibt die Zeit t und diese entspricht der Integration von 1/a.

lösen lass ich dir

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi & vielen Dank.
Hab' mir 'n Knoten in den Kopf gerechnet.
Beim Durchlesen eurer Blogs hat's sofort geklingelt.
Alles klar.
Diff-Gleichung aufstellen ist jetzt kein Prob mehr.
Ha, ha,
ich kann wieder lachen.
Ciao
deddy

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi,
möchte mich doch noch mal melden.
Soweit habe ich eure Beiträge verstanden (t als Funktion von v),
aber warum weiß der Kuckuck,
ich habe immer noch nicht die Lösung für v(t) hingekriegt.
Das muß irgendwas mit der e-Funktion zu tun haben.
Zumindest wenn man der Herleitung eines gewissen Herrn Raddy folgt.
Ich stelle mal den Link dazu rein.
Womit ich hadere ist, daß der einfach so voraussetzt, daß v(t) proportional zu a(t) ist.
Er stellt ja einfach die Gleichung v(t) = k * v'(t) ohne Herleitung auf.
Ich habe einen Kommentar dazu auf YouTube hinterlassen, den der Herr sofort gelöscht hat.
So, hier der Link:

https://www.youtube.com/watch?v=47uNqYJ5nfA

Würde mich freuen, wenn ihr euch noch mal aufraffen könnt.
Ciao
deddy Hilfe

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi,
danke für die schnelle Antwort, die meine Einschätzung bestätigt.
Genau das habe ich in meinem Kommentar ja hinterfragt und schwups,
war der Beitrag weg.
Aber trotzdem komme ich leider nicht weiter, obwohl ich den Ansatz ja mit F_Luft(t) =1/2*A*rho*v(t)^2 versucht habe.
In froher Hoffnung
deddy

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

schnudl und VeryApe haben Dir doch gezeigt wie es geht... was ist Dir denn unklar?

deddy · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 6

Hi,
das Problem ist immer noch das gleiche:
Herleitung der Formel für v(t) und nicht für t(v).
Das Problem läßt sich, glaube ich, mit dem freien Fall im lufterfüllten Raum vergleichen, da auch dort eine konstante Antriebskraft vorliegt.
Der Hinweis, daß v(t) ja nur die Umkehrfunktion von t(v) ist,
hat bei mir auch noch zu keiner Lösung geführt.
Also, wer Lust hat, Glück auf!
Ciao
deddy

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582