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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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 spam Verfasst am: 16. Feb 2015 20:21 Titel: Hohl- und Vollzylinder auf schiefer Ebene |
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Ein dünnwandiger Hohlzylinder und ein Vollzylinder (konstante Dichte) mit gleichem Radius r = 10 cm, gleicher Länge l = 20 cm und gleicher Masse m = 2 kg rollen unter dem Einfluss der Schwerkraft eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel alpha = 30° hinunter.
a) Wie groß ist die Massendichte des Vollzylinders?
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Zylinder. Welcher Zylinder rollt schneller herunter?
c) Welche Zeit benötigen die Zylinder, um auf der schiefen Ebene aus der Ruhe eine Strecke s = 1 m zurückzulegen?
d) Berechnen Sie zugehörige kinetische Energie und die Rotationsenergie der beiden Zylinder. Hinweis: Die Trägheitsmomente der Zylinder bezüglich ihrer Körperachse betragen: (i) Hohlzylinder, I_HZ = mr² (ii) Vollzylinder I_VZ = 1/2 mr².
Okay also a) ist noch easy:
Bei b) habe ich lange rumprobiert, schlussendlich entscheide ich mich doch für den Energieansatz:
Vollzylinder:
^2)
^2)
Aber ich habe doch gar keine Höhe gegeben, was mache ich jetzt?  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 16. Feb 2015 20:38 Titel: |
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Die Ersetzung von omega durch v ist so nicht korrekt. Das erste v bezeichnet die Translations-, das zweite die Rotationsgeschwindigkeit. Du musst dir überlegen, welche Strecke der Mittelpunkt zurücklegt, während ein Punkt auf der Oberfläche einmal vollständig rotiert. Daraus folgt dann eine geometrische Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten; und das kannst du einsetzen.
Für den Energiesatz darfst du nicht
ansetzen. Es gilt vielmehr
Dieser Ausdruck ist dann erhalten. Zu Beginn sind die kinetische und die Rotationsenergie Null; es gilt dann
Die hier angegebene Höhe h_0 ist die Starthöhe; aus den Energiesatz folgt dann v als Funktion von h.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Feb 2015 21:42 Titel: |
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Verstehe ich nicht, es gilt doch  .. ich dachte das wäre die sog. "Rollbedingung".. Winkelgeschwindigkeit und Radius stehen doch senkrecht zueinander, deshalb kann ich das Kreuzprodukt skalar formulieren..
Der Mittelpunkt legt die Strecke  zurück. Und ein Punkt auf der Oberfläche die Strecke  bei einer vollen Umdrehung..
Wegen Energieansatz: Wenn der Zylinder im Rollen ist kann ich doch auf der linken Seite die Differenz der potenziellen Energie stehen haben ( ) und rechts die kinetische Gesamtenergie, die sich aus Rotationsenergie und Translationsenergie zusammensetzt.. damit wäre ich wieder bei meinem Ausdruck, der da schon steht. Oder meinst du dass der Energieansatz mich hier nicht weiterbringt?
Wie die Energielage für die Zylinder in Ruhe ist spielt doch für Aufgabenteil b) noch gar keine Rolle, es geht ja erstmal nur darum die Geschwindigkeit der Zylinder zu berechnen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 16. Feb 2015 22:12 Titel: |
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| spam hat Folgendes geschrieben: | Verstehe ich nicht, es gilt doch .. ich dachte das wäre die sog. "Rollbedingung".. Winkelgeschwindigkeit und Radius stehen doch senkrecht zueinander, deshalb kann ich das Kreuzprodukt skalar formulieren.. ?(
Der Mittelpunkt legt die Strecke zurück. Und ein Punkt auf der Oberfläche die Strecke bei einer vollen Umdrehung.. |
Ja, sorry, du hast recht, ich hatte das irgendwie falsch gelesen.
| spam hat Folgendes geschrieben: | | Wenn der Zylinder im Rollen ist kann ich doch auf der linken Seite die Differenz der potenziellen Energie stehen haben () und rechts die kinetische Gesamtenergie, die sich aus Rotationsenergie und Translationsenergie zusammensetzt.. damit wäre ich wieder bei meinem Ausdruck, der da schon steht. |
Nee, du hast etwas anderes geschrieben; eine Gesamtenergie kann ich da nicht erkennen.
| spam hat Folgendes geschrieben: | | Oder meinst du dass der Energieansatz mich hier nicht weiterbringt? |
Doch, natürlich bringt dich das weiter.
| spam hat Folgendes geschrieben: | | Wie die Energielage für die Zylinder in Ruhe ist spielt doch für Aufgabenteil b) noch gar keine Rolle, es geht ja erstmal nur darum die Geschwindigkeit der Zylinder zu berechnen. |
Ja es geht um die Geschwindigkeit; diese ist offensichtlich eine Funktion der Höhe h. Was ist denn das Ergebnis aus meiner Herleitung?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Feb 2015 22:22 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nee, du hast etwas anderes geschrieben; eine Gesamtenergie kann ich da nicht erkennen. |
Okay sorry, vielleicht hätte ich  schreiben sollen.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja es geht um die Geschwindigkeit; diese ist offensichtlich eine Funktion der Höhe h. Was ist denn das Ergebnis aus meiner Herleitung? |
Eine gute Frage, das versuche ich noch zu verstehen. Also du hast einfach kinetische Energie und Rotationsenergie gleich null gesetzt, dann bleibt ja nur noch
übrig. Dann bleibt ja (auf der linken Seite) nur noch die Translationsenergie übrig.. also;
Das Problem ist aber; ich habe die Höhe doch gar nicht gegeben. Ich könnte die Höhe zwar mithilfe des Neigungswinkels ausdrücken:
)
Aber ich weiß doch gar nicht welche Strecke der Zylinder zurückgelegt hat. Doch nicht etwa  oder? Dann ist die Geschwindigkeit:
} = 2 \sqrt{g \ \pi \ r \sin(\alpha)})
Ich hab kein gutes Gefühl dabei..
Zuletzt bearbeitet von spam am 16. Feb 2015 22:28, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 16. Feb 2015 22:26 Titel: |
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| spam hat Folgendes geschrieben: | | Okay sorry, vielleicht hätte ich schreiben sollen. |
Ja, genau.
| spam hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja es geht um die Geschwindigkeit; diese ist offensichtlich eine Funktion der Höhe h. Was ist denn das Ergebnis aus meiner Herleitung? |
Eine gute Frage, das versuche ich noch zu verstehen ... |
Jetzt machst du's aber unnötig kompliziert. Oder du hast die Idee mit der Gesamtenergie nicht verstanden.
Es gilt
Jetzt kannst du einsetzen:
 = mgh)
und v(h) berechnen. a_Z bezeichnet den numerischen Faktor für Voll- bzw. Holzylinder in der Formel für das Trägheitsmoment.
Eine Höhe h brauchst da nicht; gesucht ist m.E v als Funktion von h. Und für die zweite Frage ist das auch irrelevant, denn da musst du lediglich die Geschwindigkeiten der beiden Zylinder vergleichen.
Umstellen liefert
 = \frac{m}{2}(1 + 2a_Z)v^2)
Deine erste Rechnung liefert ein ähnliches Ergebnis; es war nur irritierend, dass du potentielle und kinetische Energie gleichgesetzt hattest. Und deine Höhe h hatte irgendwie ein seltsames Vorzeichen ;-)
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Feb 2015 10:16, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Feb 2015 22:43 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Jetzt machst du's aber unnötig kompliziert. |
Sorry, die Erwähnung mit "zu Beginn" hat mich irritiert.
} = \sqrt{\frac{4}{3} \ g \cdot \Delta h})
Das wäre dann die Funktion v(h) für den Vollzylinder. Für den Hohlzylinder (mit I = mr²):
Okay ehm jetzt:
Das heißt der Vollzylinder ist um ca. 0,9 schneller als der Hohlzylinder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 16. Feb 2015 23:06 Titel: |
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Sieht alles gut aus, nur mit den Faktoren passt was nicht
 = \frac{2g(h_0 - h)}{1 + 2a_Z})
Wenn du jetzt a einsetzt
dann erhältst du
Rechne's bitte nochmal nach; bin heute nicht gut drauf wg. Grippe. Aber offensichtlich muss doch der Körper mit dem größeren Trägheitsmoment die kleinere Geschwindigkeit haben.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Feb 2015 10:12, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 16. Feb 2015 23:28 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Rechne's bitte nochmal nach; bin heute nicht gut drauf wg. Grippe. Aber offensichtlich muss doch der Körper mit dem größeren Trägheitsmoment die kleinere Geschwindigkeit haben. |
Das hat mich auch stutzig gemacht, aber ich finde gerade auch nicht den Fehler (einen habe ich schon korrigiert). Gute Besserung. Ich rechne das nochmal in 'ner ruhigen Minute nach, bin schon seit zwei Tagen wach.. so langsam verschwindet die Konzentrationsfähigkeit.
Okay bei c) brauche ich nun die Zeiten der Zylinder. Es handelt sich ja um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, d.h. ich brauch die Gleichungen:
 = \frac{1}{2} at^2)
 = at)
 = \frac{1}{2} \ v(t) \ t)
}{v(t)})
Ich könnte ja jetzt theoretisch die Geschwindigkeiten, die ich vorhin berechnet habe, verwenden. Oder gibt es noch eine andere, einfachere Möglichkeit von hier aus? Es herrscht ja eine Antiproportionalität zwischen Zeit und Geschwindigkeit, da die Strecke sowieso für beide Zylinder gleich ist..
Die Höhe ist ja hier auch bekannt, wegen ) .
Soll ich bei d) die kinetische Energie und Rotationsenergie einfach so berechnen oder bezieht sich das auf Aufgabenteil c)? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 16. Feb 2015 23:42 Titel: |
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Dein Problem ist, dass v nicht als Funktion von t sondern als Funktion von h gegeben ist.
Machen wir doch mal folgendes:
} = \frac{ds}{dh} \int_{h_0}^0 \frac{dh}{v(h)})
Der konstante Faktor ds/dh liefert den Sinus. Jetzt kannst du direkt einsetzen und integrieren.
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 17. Feb 2015 00:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Der konstante Faktor ds/dh liefert den Sinus. |
Wieso?
})
 \int_{h_0}^0 \frac{dh}{\sqrt{\frac{4}{3} g \Delta h}})
}{2 \ \sqrt{\frac{g}{3}}} \int_{h_0}^0 (\Delta h)^{-\frac{1}{2}} \ dh)
}{2 \ \sqrt{\frac{g}{3}}} \cdot 2 \cdot \sqrt{h_0} = \sin(\alpha) \cdot \sqrt{ \frac{3 \cdot h_0}{g} } )
 \cdot \sqrt{ \frac{3 \cdot s \cdot \sin(\alpha)}{g} } = \sqrt{ \frac{3 \cdot s \cdot \sin^3(\alpha)}{g} })
So? Für den Vollzylinder. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 00:13 Titel: |
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Eine andere Möglichkeit, die Beschleunigung zu bestimmen, ist die Differentation des Energiesatzes
Daraus folgt
\cdot 2va)
Die Ableitung der Höhe nach der Zeit liefert wieder die Geschwindigkeit mal einem konstanten Faktor sin, also
Einsetzen liefert
\cdot 2va)
Gekürzt ist das
a)
Woraus du jetzt die Beschleunigung a praktisch direkt ablesen kannst.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Feb 2015 10:45, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 00:32 Titel: |
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Bei deiner Rechnung passt eine Kleinigkeit nicht.
ds/dh liefert 1/sin; sorry, ich dachte das wäre klar, nachdem du den Zusammenhang vorher selbst explizit hingeschrieben hattest. Damit hast du kein sin^3 im Zähler sondern ein sin im Nenner unter der Wurzel.
Rechne nochmal nach der anderen Methode ohne Integration und vergleiche die Ergebnisse.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 10:21 Titel: |
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Ich fasse das nochmal zusammen:
} = -\frac{1}{\sin\alpha} \sqrt{\frac{1+2a_Z}{2g}} \int_{h_0}^0 \frac{dh}{h_0 - h} = \sqrt{\frac{2(1+2a_Z)h_0}{g\sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{2(1+2a_Z)S}{g\sin\alpha}} )
Wir müssen mit den Vorzeichen aufpassen. Wenn du die Zylinder auf eine Höhe h herunterrollen lässt, dann ist diese Höhe h nicht der Sinus mal der zurückgelegten Strecke, sondern die Gesamtdistanz (von Höhe 0 bis Höhe h_0) minus der bis h zurückgelegten Strecke. Deswegen kommt da noch ein Minuszeichen ins Spiel.
Zur alternativen Berechnung
a)
und somit
Nun kannst du
umformen zu
und den Ausdruck für a einsetzen; du erhältst die oben mittels Integration abgeleitete Formel; passt also.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 17. Feb 2015 10:46, insgesamt einmal bearbeitet |
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 17. Feb 2015 12:07 Titel: |
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Wow, ganz schön viel Tipparbeit. Vielen lieben Dank für die Mühe! Ja das mit dem Sinus tut mir leid, hätte mir eigentlich klar sein müssen.
Dann noch d):
Einen Ausdruck für v(h) habe ich ja bereits.
Soo.. und damit hätten wir die Aufgabe auch schon durch oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 13:39 Titel: |
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sieht gut aus
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
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| spam Verfasst am: 17. Feb 2015 22:00 Titel: |
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Dankeschön für die ganze Mühe! Sehr sehr nett von dir.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 23:47 Titel: |
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Gerne
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 17. Feb 2015 23:48 Titel: |
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Warte mal, du musst wohl noch die konkreten Werte einsetzen ...
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