Gesamtenergie Fermionen/Bosonensystem

Eddi_Vulcano · Anmeldungsdatum: 16.02.2015 Beiträge: 12

Hallo, ich habe folgendes Hausaufgabenproblem, obwohl mir die Aufgabe an sich recht Simpel erscheint, bin ich trotzdem verwirrt.

Es befinden sich 9 Elektronen in einem System wobei E(a,b) = E0 *(a²+b) ist. a und b sind ganzzahlige Quantenzahlen mit a>0 und b ist 0 bis a.
Wie verteilen sich die Elektronen im Grundzustand?
Wie ist die Gesamtenergie? und die Fermi Energie?

Generell hab ich mir gedacht, gilt das Pauli Prinzip, also a\neq b.
Ausserdem können immer nur zwei Elektronen einen Zustand besetzen, nämlich mit dem Spin +1/2 und -1/2. Also sind E0, E1, E3 voll besetzt und E4 halb?
Berechne ich also E(5,4)= 29E0?. Ich komme irgendwie nicht klar das es a und b gibt weil eigentlich müsste die Gesamtenergie doch E= E0+E1+E2+E3+E4 sein? Und ist die Fermienergie die Energie E4, also die des letzmöglich zu besetzenden Zustands??

Fragen über Fragen. Über hilfe wäre ich wirklich sehr Dankbar!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Da a und b verschiedene Quantenzahlen sind, dürfen durchaus zwei ("vier" war falsch!) Elektronen ein gültiges Niveau (a,b=a) besetzen.

Nun musst du die Energien E(a,b) ausrechnen und von unten nach oben besetzen; alle bis auf eines mit zwei Elektronen - wie du geschrieben hast. Daraus resultiert der Grundzustand.

Die Gesamtenergie erhältst durch Summation über alle Niveaus, mit einem Faktor 0, 1 oder 2 entsprechend der Besetzungszahl.

Die Fermienergie ist die höchste Energie, die ein Elektron im o.g. Grundzustand hat, d.h. die Energie des obersten besetzten Zustandes.

Eddi_Vulcano · Anmeldungsdatum: 16.02.2015 Beiträge: 12

Erstmal Danke für die schnelle Antwort!!

Leider bin ich immer noch ein bischen verwirrt, aufgrund der zwei Hauptquantenzahlen. Das vier Elektronen aufgrund der unterschiedlichen Hauptquantenzahlen jeweis ein Niveau besetzten können leuchtet mir jetzt ein.
Jetz wäre mein nächster Schluss: Im ersten Niveau befinden sich also E(2,2), im nächsten auch und im übernächsten E(1,0). Also wäre die Gesamtenergie E(2,2)+E(2,2)+E(1,0)...E(1,0) wäre zudem die Fermi-Energie!?

Was gilt eig. für Bosonen/Fermionen bezüglich Teilchenerhaltung?
Da Fermionen z.B Elektronen sind bleiben sie ja als Teilchen erhalten, aber wie ist es bei Bosonen (Photonen?) die können ja eig. absorbiert werden?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das mit den vier Elektronen hatte ich falsch formuliert. Es ging um deine Schlussfolgerung, dass aus dem Pauliprinzip folgen soll, dass b ungleich a sein muss. Das ist so nicht richtig. Ein Niveau wird definiert durch ein Paar a,b. Dabei kann durchaus b=a sein, d.h. dieses Niveau ist zulässig und kann von zwei Elektronen besetzt werden. Ich hoffe, das hat dich nicht zu sehr verwirrt.

Eddi_Vulcano · Anmeldungsdatum: 16.02.2015 Beiträge: 12

Hallo, erstmal wieder ein dickes Dankeschön,
du hast Recht...die Notation dieser Aufgabe ist mir unklar (der Sinn eig. auch). Habe mich bei meiner Lösung stark an einer ähnlichen Tipleraufgabe (S. 1439, 6 Auflage orientiert)
Versuche es nun erneut:
Ein Paar a,b entspricht einem Niveau in welches jeweils zwei Elektronen passen. Nach meinem Verständnis kann es also nur 5 Niveuas geben!?
E(1,0), E(1,1), E(2,0) E(2,1) voll besetzt und E (2,2) halb besetzt = Fermi Energie. Die Gesamtenergie wäre die Summe dieser Niveaus.

Bei gleich vielen Bosonen würden die alle in ein Niveau passen? also E(1,0).

Danke im Voraus[/b]

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Die Formel für die Gesamtenergie hatte ich oben schon hingeschrieben.

Der Sinn der Aufgabe ist schon klar; Konstruktion des Grundzustands eines Fermionensystems; ist schon wichtig.

(ich hätte noch ein paar Fallen wie level-crossing eingebaut :-)

Ja, im Falle von Bosonen passen alle in das unterste Niveau.

Eddi_Vulcano · Anmeldungsdatum: 16.02.2015 Beiträge: 12

Sorry das mit der Gewichtung hatte ich überlesen. Demzufolge
2E(1,0)+ 2E(1,1)+2E(2,0)+ 2E(2,1)+1E(2,2)...dies kann man ja problemlos mit E(a,b)= E0 (a²+b) ausrechnen....

ich hoffe das jetzt bei mir der Groschen gefallen ist und ich dieser (anscheinend doch recht sinnvollen ;-)) Aufgabe weiterkomme...