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more_or_less
Gast
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 more_or_less Verfasst am: 27. Jan 2015 14:21 Titel: Quantenmechanische Operatoren |
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Hallo,
ein quantenmechanisch beschreibbares Teilchen befindet sich in einem Zustand A. Ein zweites Teilchen im Zustand B. Zustand B soll sich zu Zustand A wie folgt verhalten:
a) B ist spiegelverkehrt zu A
b) B ist um 180 Grad gedreht zu A
c) wie b), zusätzlich hat B einen Spin von 1/2 zu A
d) B ist orthogonal zu A
wie kann man dieses formal schreiben ?
Zusatzfrage zu d).
was ist generell die Aussage hinter "Zustand A ist orthogonal zu Zustand B", daß sich diese beiden Zustände nicht beeinflussen oder daß sie sich beeinflussen, dies aber aus Zustand A oder Bn nicht wahrgenommen wird ?
Danke vorab für Antworten |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 27. Jan 2015 15:06 Titel: |
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Kannst Du die Frage mal im Wortlaut hinschreiben? Formale Lösungen die mir einfallen sind nicht sonderlich erhellend, darum frag ich mich, ob ich richtig verstehe, was Du fragst. |
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more_or_less
Gast
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| more_or_less Verfasst am: 27. Jan 2015 15:34 Titel: |
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Hallo jh8979,
ich habe keine konkrete Aufgabe, ich möchte nur die Situationen a) bis c) mittels Operatoren notieren, um mir einen Sachverhalt besser begreiflich zu machen zu können.
Danke ! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 27. Jan 2015 15:43 Titel: |
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Ahh.. das erklärt einiges 
Dafuer musst Du ja erstmal definieren was z.B. "ist spiegelverkehrt zu" heissen soll... |
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more_or_less
Gast
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| more_or_less Verfasst am: 27. Jan 2015 16:48 Titel: |
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ok verstehe
eine 2D Fläche A ist durch eine 2D Fläche B durch eine Linie y getrennt. Stell Dir z.B. den ersten und zweiten Quadranten vor und als Linie y die y-Achse. Ein Teilchen bewegt sich in A (zweiter Quadrant) von einem beliebigen Punkt a geradlinig zu einem beliebigen Punkt b. In Quadrant B (erster Quadrant) verhält sich ein zweites Teilchen immer spiegelverkehrt zur Bewegung des Teilchens in Quadrant A.
Hoffe es wird es nun klarer !?
Danke ! |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 27. Jan 2015 17:29 Titel: |
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Ich weiss schon was Du meinst. Ich wollte Dich darauf hinweisen, dass DU Dir klar werden musst, was das heissen soll. Denn es geht ja nicht um klassische Teilchenbahnen, sondern um quantenmechanische Zustände... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2015 01:36 Titel: |
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Bis auf die Frage mit dem Spin ist das elementare lineare Algebra.
Wir können dann noch diskutieren, was das im Einzelfall quantenmechanisch bedeutet, aber zunächst mal ist es lineare Algebra.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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more_or_less
Gast
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| more_or_less Verfasst am: 28. Jan 2015 09:00 Titel: |
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Danke, wie würde man die Fälle a-d (ohne den spin) linear algebraisch ausdrücken ?
@ moderatoren, bitte thread nicht verschieben, ich denke wir kriegen wieder die kurve richtung quantenphysik ... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2015 19:48 Titel: |
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|...> steht für einen Quantenzustand = einen Vektor in einem (endlich oder unendlich-dimensionalen) Vektorraum; n numeriert orthonormierte Basisvektoren |n>
a) Punktspiegelung am Ursprung, die Komponenten bzgl. der Basisvektoren erhalten ein negatives Vorzeichen
\,|n\rangle)
b) Rotation um einen Winkel theta = pi (entspr. 180 Grad); Rotationsachsen zunächst unspezifiziert
Die Rotation R ist dann einfach darstellbar, wenn die Rotation in einer durch zwei Basisvektoren m,n aufgespannten Ebene erfolgt und alle anderen Richtungen unverändert lässt.
d) Das Skalarprodukt der Vektoren ist Null
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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more_or_less
Gast
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| more_or_less Verfasst am: 29. Jan 2015 11:00 Titel: Re: Quantenmechanische Operatoren |
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Hallo Tom,
Danke Dir für Deine Ausführungen, diese Ausdrucksweise habe ich gesucht.
Kurze Verständnisfragen:
a) was genau wird hier aufsummiert, n mal die Koordinaten des Vektors in einem n-dimensionalen Raum ?
d) was ist Aussage hinter dem QM-Zustand "orthogonal", bzw. was sagt das über zwei Quantenzustände aus, die orthogonal zueinander stehen ?
Folgefrage:
wie würde sich der Ausdruck a) ändern, wenn |A> z.b. ein Zustand in einem 10D-Raum wäre und |B> seine Abbildung (kann man das so nennen, oder Projektion ?) in einem z.b. 5D-Raum ?
Danke vorab ! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2015 15:26 Titel: |
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zu a)
einfaches Beispiel im dreidimensionalen Raum:
)
)
)
 + \ldots = (7,-3,1))
)
(die Einheitsvektoren bleiben identisch, die Komponenten erhalten ein Vorzeichen)
zu b)
Das kann man so einfach nicht sagen. Nehmen wir an, wir haben eine "orthogonale Zerlegung" bzgl. verschiedener "Eigenschaften". Wenn zwei Zustände aufeinander senkrecht stehen, dann bedeutet das, dass sie keine dieser Eigenschaften gemein haben. Allerdings ist das eben nicht so einfach interpretierbar, da die klassische Art, über "Eigenschaften" zu denken, in der QM beweisbar falsch ist (Kochen-Specker-Theorem).
Bsp.:
Stell dir z.B. einen Farbkreis vor; jede Farbe wird dann durch eine Richtung [0,360°] dargestellt. Komplementärfarben liegen einander gegenüber, d.h. die beiden Zustände haben einen Winkel von 180° zueinander. Repräsentiert also ein Zustand die Farbe |23°>, so hat die Komplementärfarbe den Zustand |203°>; dies entspricht exakt dem Zustand -|23°>.
Haben zwei Zustände zueinander einen Winkel von 90°, so ist das Merkmal = die Farbe des einen im Merkmal des anderen nicht vertreten. Z.B. enthält Rot keinen Anteil Grün und Violett; jedoch einen gewissen Anteil Dunkelblau.
http://de.wikipedia.org/wiki/Farbkreis#mediaviewer/File:Kleurencirkel2.png
Sorry, das ist natürlich etwas abstrakt, aber so ist die QM nun mal.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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more_or_less
Gast
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| more_or_less Verfasst am: 02. Feb 2015 11:10 Titel: |
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Hallo Tom,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort, sehr hilfreich.
Kannst Du mir hierzu noch etwas sagen ?
Folgefrage:
wie würde sich der Ausdruck a) ändern, wenn |A> z.b. ein Zustand in einem 10D-Raum wäre und |B> seine Abbildung (kann man das so nennen, oder Projektion ?) in einem z.b. 5D-Raum ?
Danke ! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2015 16:31 Titel: |
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| more_or_less hat Folgendes geschrieben: | | wie würde sich der Ausdruck a) ändern, wenn |A> z.b. ein Zustand in einem 10D-Raum wäre und |B> seine Abbildung (kann man das so nennen, oder Projektion ?) in einem z.b. 5D-Raum ? |
|A> und |B> könen zunächst mal Ausdrücke in endlich- oder unendlich-dimensionalen Räumen sein.
Bzgl. der Projektion weiß ich nicht genau, was du meinst. Ich würde vorschlagen, zuerst speigeln, dann projizieren. Dazu benötigst du zunächts eine Darstellung der Eins mittels einer Basis |n> sowie einen Projektor P, der auf einen Unterraum projiziert (d.h. die Summe * läuft nicht über alle ein-dim. Unterräume |n>)
\,|n\rangle \;\to\; P|B\rangle = {\sum_m}^\ast |m\rangle\langle m| \; \sum_n(-A_n)\,|n\rangle = {\sum_n}^\ast (-A_n)\,|n\rangle)
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