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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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 Amplitude Verfasst am: 18. Jan 2015 21:49 Titel: Mindestgeschwindigkeit Abschuss Körper Erde - Mond |
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Hallo, ich soll die Mindestgeschwindigkeit bzgl. des Abschusses eines Körpers von Erde nach Mond berechnen. Wird hierbei unter Mindestgeschwindigkeit die Kosmische Geschwindigkeit gemeint? Und wenn ja, handelt es sich um die 1. oder 2. kosmische Geschwindigkeit?
Meine Idee: Sicherlich die 2., da sich die erste auf antriebslose Kreisbewegungen bezieht. |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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| E=mc² Verfasst am: 18. Jan 2015 22:18 Titel: |
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Ja, vermutlich in guter Näherung die 2. (Die 1. jedenfalls nicht)
Du musst aber beachten, dass man das Gravitationsfeld der Erde nicht vollständig verlässt, wenn man zum Mond fliegt. Ich würde es also nicht mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit berechnen.
Wie groß der Unterschied dann ist, kann ich, ohne es zu berechnen, nicht sagen. |
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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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| Amplitude Verfasst am: 18. Jan 2015 22:36 Titel: |
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| E=mc² hat Folgendes geschrieben: | Ja, vermutlich in guter Näherung die 2. (Die 1. jedenfalls nicht)
......
Ich würde es also nicht mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit berechnen.
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Danke schön. Aber wenn du die 1. und 2. nicht nutzen würdest, wie könntest du hier überhaupt rechnen? (Da die 2. nur eine gute Näherung darstellt.). Ich frage das nur aus reiner Interesse.  |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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| E=mc² Verfasst am: 18. Jan 2015 22:54 Titel: |
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Ich würde über die Energien rechnen.
G...Gravitationskonstante
M...Masse der Erde (in dem Fall)
m...Masse des Objekts im Gravitationsfeld (kürzt sich dann eh raus)
r...Abstand zum Schwerpunkt von M
Einmal würde ich für r den Erdradius einsetzen. Dann komme ich auf E_pot beim Start.
Dann würde ich für r den Abstand zwischen Erde und Mond einsetzen. Das ist dann E_pot am Mond. (Wenn man es genauer will, müsste man eigentlich den Punkt ermitteln, an dem sich die Schwerkraft von Erde und Mond ausgeleichen, denn ab dem Punkt wird man schon vom Mond angezogen)
Dann würde ich beide Energie subtrahieren. Diese Energie muss die kinetischen Energie der Rakete sein. So kann man sich dann auch v ausrechnen.
(Bei dieser ganzen Rechnung stellt sich halt, die Frage, was man alles berücksichtigt. zB Zentrifugalkräfte...) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 18. Jan 2015 23:41 Titel: |
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| E=mc² hat Folgendes geschrieben: | | Dann würde ich für r den Abstand zwischen Erde und Mond einsetzen. Das ist dann E_pot am Mond. |
Das liefert zumindest eine brauchbare Obergrenze für die Mindestgeschwindigkeit. Der tatsächliche Wert liegt niedriger, aber ich bezweifle, dass man da allein über die Energie rankommt.
| E=mc² hat Folgendes geschrieben: | | (Wenn man es genauer will, müsste man eigentlich den Punkt ermitteln, an dem sich die Schwerkraft von Erde und Mond ausgeleichen, denn ab dem Punkt wird man schon vom Mond angezogen) |
Das funktioniert nicht. Selbst wenn die Bahn durch diesen Punkt ginge (was ich bezweifle) wäre die Geschwindigkeit dort nicht Null. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18086
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2015 00:21 Titel: |
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E=mc² hat recht. Es ist nach der minimalen Geschwindigkeit gefragt, d.h. man darf annehmen, dass die Rakete durch diesen Punkt fliegt. Sie muss diesen Punkt gerade erreichen bzw. infinitesimal überschreiten.
Die potentielle Energie der Rakete mit Masse m im System Erde - Mond ist gegeben durch:
 = -Gm\left[\frac{M_E}{r} + \frac{M_M}{|r-D|}\right])
Die Funktion sollte man mal skizzieren, um den Potentialvelauf zu verstehen.
V(r) hat ein Maximum zwischen Erde und Mond. Das muss man bestimmen. Anschließend muss die kinetische Energie der Rakete so festgelegt werden, dass sie nach Start am Erdradius gerade dieses Maximum überschreitet.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 19. Jan 2015 01:57, insgesamt einmal bearbeitet |
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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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| Amplitude Verfasst am: 19. Jan 2015 01:21 Titel: |
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Wenn die Funktion wie folgt aussieht für Epot:
 = Gm\left[\frac{M_E}{r1} - \frac{M_M}{r2}\right])
für was stehen r1 und r2 genau? Wie E=mc² bereits erwähnt hat, jedoch etwas allgemeiner Ausgedrückt, gibt r1 (Startpunkt) den Radius von M_E an. r2 ist der Endpunkt. Muss ich hier jedoch den Radius von r1 mit berücksichtigen, also r1+r2 oder ist r1 hier irrelevant, da ich die potentielle Energie hierfür schon habe (Siehe 1. Term). |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18086
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2015 01:54 Titel: |
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Die Formel ist falsch. Beide Gravitationspotentiale sind anziehend, vor beiden Termen muss eine Minus stehen.
Die Radialkoordinate r kannst du an meiner Gleichung für V(r) erkennen. r=0 bezeichnet den Mittelpunkt der Erde, der im Ursprung des Koordinatensystems liegt. r=D bezeichnet den Mittelpunkt des Mondes.
Zu berechnen, ist das Maximum des Potentials, also die Radialkoordinate, für die
}{dr} = 0)
gilt.
Die benötigte kinetische Energie entspricht dann der Differenz der potentiellen Energie an diesem Maximum sowie am Erdradius.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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| E=mc² Verfasst am: 19. Jan 2015 02:05 Titel: |
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@Amplitude: Warum kommst du jetzt plötzlich mit r1 und r2 daher? Jetzt hast du eine Funktion V(r), in der r nicht mehr vorkommt! Deine Abwandlung ist mir unverständlich.
In der Funktion, die TomS aufgeschrieben hat, gibt r den Abstand zum Schwerpunkt der Erde an. Wenn du also die potenzielle Energie bei einem bestimmten Ort berechnen willst, musst du dessen Abstand r vom Schwerpunkt der Erde einsetzen.
In unserem Fall muss man eine Energiedifferenz berechnen. Und zwar zwischen der potenziellen Energie am Startpunkt und dem Maximum der potenziellen Energie zwischen Startpunkt und Landepunkt.
Wenn du Fragen hast, welche Werte man einsetzen muss, können wir das gerne klären, aber anhand der Funktion, die TomS aufgeschrieben hat!
(Edit: TomS ist mir zuvorgekommen, ich lass es trotzdem stehen) |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 19. Jan 2015 18:15 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es ist nach der minimalen Geschwindigkeit gefragt, d.h. man darf annehmen, dass die Rakete durch diesen Punkt fliegt. |
Heißt es das wirklich? Ich habe das Ganze versuchsweise numerisch berechnet und dabei erhalte ich nur Flugbahnen, die weit an diesem Punkt vorbei gehen. Ich kann natürlich nicht garantieren, dass ich dabei die Bahn mit minimaler Startgeschwindigkeit erwischt habe.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sie muss diesen Punkt gerade erreichen bzw. infinitesimal überschreiten. |
Wie ich oben schon erwähnte, funktioniert das nicht. Die Rakete würde es nicht schaffen, den Mond einzuolen. Der bewegt sich gegenüber der Erde immerhin mit rund 1 km/s.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Die potentielle Energie der Rakete mit Masse m im System Erde - Mond ist gegeben durch:
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Ich glaube, das genügt nicht. Die Sonne spielt hier auch noch eine Rolle. Bei Neumond erhalte ich mit
 = - G \cdot m \cdot \left( {\frac{{M_E }}{r} + \frac{{M_M }}{{\left| {D_M - r} \right|}} + \frac{{M_S }}{{\left| {D_S - r} \right|}}} \right))
eine signifikant kleinere Startgeschwindigkeit. Der Einfluss des Mondes ist dabei sogar in guter Näherung vernachlässigbar, so dass man auch mit
 = - G \cdot m \cdot \left( {\frac{{M_E }}{r} + \frac{{M_S }}{{\left| {D_S - r} \right|}}} \right))
rechnen könnte. Ich habe hierbei allerdings nicht berücksichtigt, dass sich auch die Erde bewegt. |
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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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| Amplitude Verfasst am: 19. Jan 2015 20:51 Titel: |
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Hallo und danke für die lieben Antworten. Ich versuche die ganze Zeit nachzuvollziehen wie ich auf die von TomS genannte Gleichung komme. Vor allem irritiert mich wie du es geschafft hast die Masse m der Rakete ebenfalls in die Gleichung reinzubekommen.
Ich finde überall nur folgende Gleichung
)
Diese würde ich dann mit dem Ansatz von E=mc^2 auch herleiten können, sprich die Potentiellen Energien am Anfang und Ende berechnen und dann EpotEnde -EpotAnfang zu berechnen, so bekommt man den Energieunterschied. Wieso ist eigentlich das Vorzeichen negativ bei der von E=mc^2 genannten Formel? Auf der Erdoberfläche gilt ja auch Epot=
mgh und nicht -mgh...
Den Ansatz zum lösen der Aufgabe habe ich verstanden. DeltaEpot=Ekin, wobei Ekin=0,5mv^2 (Ekin der Rakete). Die Masse der Rakete kürzt sich herraus nach v umstellen und fertig. |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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| E=mc² Verfasst am: 19. Jan 2015 21:42 Titel: |
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@Amplitude:
Potenzielle Energie einer Punktmasse in Abhängigkeit von r:
 = - \frac{G M m} {r} )
Wenn du jetzt das Objekt von r_start nach r_end bewegst:
-V(r_{end})\Big ) = \frac{G M m} {r_{start}} - \frac{G M m} {r_{end}} = G M m \left (\frac {1} {r_{start}} - \frac {1} {r_{end}}\right ) )
Diese Funktion beschreibt die Differenz zweier potenzieller Energie.
Die Funktion, die TomS gepostet hat, beschreibt aber nicht die Differenz zweier potenzieller Energien, sondern "nur" die potenzielle Energie in Abhängigkeit von r. (Also das was die erste Formel in diesem Post auch tut.) Nur dass die Funktion, die TomS gepostet hat, komplizierter ist, weil sie das die potenzielle Energie im gravitationsfeld zweier Punktmassen beschriebt (und eben nicht im Gravitationsfeld einer Punktmasse)
@DrStupid: Was hast du genau gerechnet? |
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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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| Amplitude Verfasst am: 19. Jan 2015 22:10 Titel: |
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Eine Herleitung für die andere Gleichung wäre jetzt klasse. Mir fällt leider dazu nichts ein. Die andere Potentialdifferenzgleichung hatte ich schon verstanden. Mit der kann ich aber (wie bereits jeder weiss) nichtr echnen, da sich mit =Ekin die Masse der Rakete nicht herrauskürzt... |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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| E=mc² Verfasst am: 19. Jan 2015 22:32 Titel: |
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| Amplitude hat Folgendes geschrieben: | | Eine Herleitung für die andere Gleichung wäre jetzt klasse. |
Es wird einfach das Gravitationspotenzial der Erde und das Gravitationspotenzial des Mondes addiert. Beim Mond wird der Nenner halt |r-D|, weil die beiden Massen nicht im selben Punkt sind. (Ich habe jetzt von Potenzial gesprochen; Potenzial mal Masse (des Testteilchens, also m) ist dann die potenzielle Energie)
| Amplitude hat Folgendes geschrieben: | | Mit der kann ich aber (wie bereits jeder weiss) nichtr echnen, da sich mit =Ekin die Masse der Rakete nicht herrauskürzt... |
Warum? m kommt in beiden Formeln in der selben Potenz vor! |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 19. Jan 2015 22:47 Titel: |
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| E=mc² hat Folgendes geschrieben: | | @DrStupid: Was hast du genau gerechnet? |
Ich habe so einiges gerechnet. Die Potentialdifferenz im Gravitationsfeld von Erde und Sonne liefert bei Neumond beispielsweise
)
für einen Flug von der Erdoberfläche bis zur Mondbahn und das Ergebnis ist deutlich kleiner als bei allen sonst vorgeschlagenen Ansätzen. Die Mondgravitation spielt dabei kaum eine Rolle. Wenn ich sie mit berücksichtige und die Energiedifferenz bis zum Potentialmaximum berechne, ändert das so gut wie nichts am Ergebnis.
Weil die Berechnung über die Energie die tatsächliche Flugbahn nicht berücksichtigt, habe ich das Ganze versuchsweise durch numerische Lösung der Bewegungsgleichung
 - 2 \cdot \vec \omega \times \vec v)
im Ruhesystem von Mond und Erde (ohne Einfluss der Sonne) berechnet. Dabei habe ich die Abschussgeschwindigkeit schrittweise verringert und Abschussort und -Winkel jeweils so optimiert, dass die Flugbahn der Position des Mondes möglichst nahe kommt. Das habe ich so lange getrieben, bis der Abstand nicht mehr kleiner als der Mondradius wurde.
Jetzt müsste ich das Ganze noch einmal unter Berücksichtigung der Sonne durchspielen. Das wird allerdings wesentlich aufwändiger, weil mit der Mondphase ein zusätzlicher Parameter auftritt. |
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Amplitude
Anmeldungsdatum: 16.12.2014
Beiträge: 29
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| Amplitude Verfasst am: 19. Jan 2015 23:08 Titel: |
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Danke ich habs jetzt (als Näherung). Soll heißen das ich etwas durcheinander gekommen. Wenn man sich die folgende Formel anschaut, dann sieht man M. Ich hatte beide M als nur ein M die ganze Zeit interpretiert, wobei ja das eine M die Masse der Erde ist und das andere M die Masse des Mondes ist.
Es gilt
=0,5mv^2 )
nach v umformen und fertig! Ist das im übrigen die sogenannte ,,Fluchtgeschwindigkeit"? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18086
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2015 23:11 Titel: |
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@Amplitude: man kann das ganze natürlich mit wachsender Detailtiefe betrachten; trivialer Ansatz: Rakete bewegt sich im Gravitationspotential der Erde (halte ich für zu simpel; das ist realitätsfern und sicher nicht gefragt); mein Ansatz, d.h. Rakete bewegt sich im Gesamtpotential = Summe der Einzelpotentiale; DrStupids Ansatz wobei die Rotation des Mondes um die Erde und ggf. weitere Effekte berücksichtigt werden (kannst du getrost vergessen, solange du die einfachere Variante nicht gelöst hast).
Warum tust du nicht einfach das, was wir dir vorschlagen??
Also nochmal zur Idee: die Rakete bewegt sich in einem Gesamtpotential, das die Summe der beiden einzelnen Potentiale darstellt; die Masse der Erde sitzt im Punkt r=0, die des Mondes im Abstand r=D. Die Rakete muss das Potentialmaximum zwischen Erde und Mind gerade überwinden (danach fällt die Rakete frei auf den Mond herunter); die Position des Maximums findest du mittels Ableiten dV(r) / dr sowie Nullsetzen und Auflösen nach r. Dann kannst du die beiden Radien einsetzen: Start am Erdradius mit gesuchter Startgeschwindigkeit; Ziel am Maximum mit Geschwindigkeit Null.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 20. Jan 2015 17:33 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe hierbei allerdings nicht berücksichtigt, dass sich auch die Erde bewegt. |
Das hat sich bei der Simulation als grober Fehler erwiesen. Die Erde ist nicht nur bewegt, sondern auch beschleunigt und das führt im Ruhesystem von Erde und Mond zu einer Scheinkraft, der man ein Potential zuordnen kann. Wenn man das berücksichtigt, dann bleibt vom Gravitationspotential der Sonne nur noch das Gezeitenpotential übrig. Das gemeinsame Potential in den Gravitationsfeldern von Erde, Mond und Sonne lautet dann
}}{{D_S^2 }}} \right] \approx - G \cdot \left[ {\frac{{M_E }}{r} + \frac{{M_M }}{{D_M - r}} + \frac{{M_S \cdot r^2 }}{{D_S^3 }}} \right])
Es zeigt sich, dass der Einfluss der Sonne dabei vernachlässigbar ist. Die gesuchte Lösung sollte damit zwischen den beiden Werten liegen, die man mit den von E=mc² vorgeschlagenen Ansätzen erhält. Die Potentialdifferenz bis zur Mondbahn im Gravitationsfeld der Erde liefert die Obergrenze und die Differenz bis zum Maximum des Potentials von Erde und Mond die Untergrenze. Die resultierenden Werte liegen so dicht beieinander, dass man hier keinen größeren Aufwand betreiben muss. |
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