Konzentration von Uran in Räumen?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Fragestellung bzgl. Radioaktivität und Zerfällen:

Der Keller (400 cbm) der Familie Müller wurde einige Tage nicht gelüftet. Es wird eine spezifische Aktivität A für Rn-222 von 100 Bq/cbm gemessen.
Wie groß ist die Konzentration des U-238 im Beton, wenn die effektive Dicke, aus der das Rn-222 heraus diffundiert 1,5cm beträgt?

Als Hinweis sind folgende Halbwertszeiten gegeben:
U-238: 4,5 Mrd. Jahre
Th-234; 24,1 Tage
Pa-234: 6,66 Stunden
U-234: 250000 Jahre
Th-230: 75000 Jahre
Ra-226: 1600 Jahre
Rn-222: 3,8 Tage

Ich weiß, dass dem Radioaktiven Zerfall ein e-Gesetz zugrunde liegt. Leider fehlt mir aber die Aktivität des Urans, weswegen ich nicht weiter komme.

Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Danke und Grüße
scaer

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Hi,

naja, zwischen Aktivität und Halbwertszeit besteht der Zusammenhang:

und somit gilt:

damit kann ich aber doch nur bezüglich Rn-222 etwas ausrechnen?

Von Uran habe ich ja nichts, außer die Halbwertszeit. Auch keine Anfangsteilchenzahl.
Oder gilt die Rn-Aktivität auch für das gefragte Uran?

Außerdem ist die Frage, was mit Konzentration gemeint ist? Uran-Teilchen pro Volumen?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Guten Abend!

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Genau, diese Nuklidkarte ist wohl die Grundlage des Ganzen. Und genau das Problem mit den Gleichgewichten sorgt für mich zur Unlösbarkeit der Aufgabe.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Nimm an die Urankonzentration ändert so gut wie nicht durch seine Zerfälle (was vermutlich eine gute Näherung ist, da es eine sehr lange Halbwertszeit hat). Es zerfällt zu Thorium, das wiederum mit einer gewissen Halbwertszeit weiterzerfaellt. Was ist dann die Gleichgewichtszahl an Thoriumatomen?

und dann weiter die Zerfallskette runter:
http://en.wikipedia.org/wiki/Decay_chain#Uranium_series

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ok, dass mit dem Uran und der konstanten Konzentration verstehe ich. Aber wie kann ich dann vom Uran ausgehende über Thorium bis zum Rn-222 die Gleichgewichtszahl an Thorium und den weiteren Atomen bestimmen?

Mit der Effektiven Dicke ergibt sich dann ja eigentlich ein höheres Volumen, da von Wände, Decke und Böden 1,5cm noch zum Raum dazu gehören. Bildlich gesprochen bzgl. der Radioaktivität:
(10+1,5)*(10+1,5)*(4+1,5)cbm = 727,375 cbm

Also ergibt sich für die Rn-222 Aktivität:

das ergibt eine Anzahl von Rn-Atomen von:

Abr nun weiß ich nicht weiter, wie ich an das Uran komme...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

OT
Es würde mich sehr freuen, wenn Du diesen Knoten "entwickelt" kriegst, jh!
[Ich hatte schon beim Stichwort "Beton" die Segel gestrichen, das klingt wie Kartoffelsuppe.] f.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Wie lautet denn die DGL für die Anzahl der Rn-Atome? Welche Bedingung gilt im Gleichgewicht?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Genau hier liegt das Problem. Ich weiß es nicht.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Na ja.. DGL eines radioaktiven Zerfalls, sollten wir hier doch irgendwie hinkriegen smile

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

du meinst:

Dann müsste ich aber bzgl. Uran bis Rn 6 gekoppelte DGL'n lösen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Richtig, aber jede der DGL hat auf der rechten Seite zwei Terme (eigener Zerfall und Entstehung durch den Zerfall des Mutterkerns).

Die DGLs zu lösen ist nicht so schwer. Aber es geht hier sogar einfacher, da Du nur am Gleichgewichtszustand interessiert bist.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Ja, aber was ist dieser Gleichgewichtszustand. Das ist mir ja leider nicht klar.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Was gilt denn für N(t) im Gleichgewichtszustand?

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Das weiß ich ja leider nicht. Zu Gleichgewichten haben wir nichts gemacht.

Intuitiv würde ich auf konstant setzten bzw. gleich der Teilchenzahl der Uran-Atome

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Die DGL in der Grundform lautet dann aber wie?

Und wenn nun N(t) = const., dann ist die dN/dt = 0

Also habe ich dann folgendes System, oder wie?:

Problem ist, es ist jetzt ja keine wirkliche DGL mehr, da keine Ableitung da ist.

Zum "Lösen" könnte ich ja nun von unten nach oben umstellen und dann in die nächste einsetzten. Am Ende ergibt sich dann eine Gleichung, oder? Lösung sollte aber doch eine Summe aus e-Funktionen sein?

Was mache ich dann aber mit den e-Funktionen?

Die Lambdas sind bekannt, da ich die Halbwertszeiten kenne. Problem sind die Teilchenzaheln N_i , die ich nicht kenne. Selbst mit N=A*\lambda fehlt mir dann die Aktivität jedes einzelnen Nuklids.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Im Gleichgewicht ist das keine DGL mehr, sondern einfach ein lineares Gleichungssystem das Du nach den Gleichgewichtswerten für die N's lösen kannst.

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Gut, ok. Das habe ich nicht gesehen.

Die Lösung ist dann folgendes (1) :

Mit

als "Effektiven Volumen" ergibt sich für die Rn-222 Aktivität (2) :

Dieses Effektive Volumen stammt daraus, dass der Raum 10m*10m*4m groß ist. Wenn Rn aus Wände, Decken und Boden aus einer Tiefe von 1,5cm diffundiert, dachte ich, dass gilt: (10+0,015)m*(10+0,015)m*(4+0,015)m

Mit (2) ergibt das eine Anzahl Rn-Atomen von:

Daraus folgt mit (1) umgestellt und ln(2) gekürzt:

Wand-Volumen: 6*(10*4*1,5)cbm = 360cbm

Daraus folgt die Konzentration "c" in den Wänden von:

Stimmt die Rechnung so?
Oder gehen die 1,5cm erst im letzten Schritt bei der Konzentration ein? Müsste ich also in (2) bei der Aktivität noch mit 400 cbm rechnen? Es steht ja nicht, ob das Messverfahren auch das Wandinnere mit einbezieht oder nur den leeren Raum an sich.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Gemessen wird vermutlich nur im Raum selber und nicht in der Wand, aber der Unterschied ist vernachlaessigbar...

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Moin,

und danke für die rechnerische Lösung der Frage!

Trotzdem steht meines Erachtens eine Begründung für die Annahme dieses weitreichenden Gleichgewichtes noch aus, selbst für uralte / ungestörte Gesteine. Ein extra Thema vermutlich. mfG

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

scaer93 · Anmeldungsdatum: 08.12.2012 Beiträge: 137

Naja, die Halbwertszeit des Urans ist wie schonfestgestellt sehr viel größer als bei den anderen Tochterkernen.
Außerdem wurde der Raum nicht gelüftet, also ist der Keller ein abgeschlossenes System. Dies bleibt auch der Fall, wenn man zum messen hinein geht, da die Störung kurz ist im Vergleich zur Zeit, in der nicht gelüftet wurde.

Das wäre meine Begründung, weswegen es möglich ist die Annahme des Gleichgewichts zu machen etc.

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Guten Morgen! smile

Von der Annahme eines durchgehenden Gleichgewichts bin ich nicht so 1.000 %ig überzeugt. Wir haben es kaum mit "Uran" in Original-Verpackung zu tun, sondern mit mineralischen Stoffen unklarer Herkunft und Zusammensetzung (Beton), mit einer auch sonst kunterbunten radioaktiven Umgebung (s.o.), die angesprochene Zerfalls"kette" ist in Wirklicheit ein "Netz", wo die HWZen zwischen paar Stunden und Jahrhunderttausenden variieren. Sowas kann man meines Erachtens nicht nach Gefühl und Kellerlüftung klären - wenn überhaupt.

Positiv gesagt: Ein neues, eigenständiges Thema.

Bezüglich der Aufgabe würde ich deshalb einfach trennen: Unter den und den Voraussetzungen ergibt sich das und jenes - fedich. f.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582