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Konzentration von Uran in Räumen?
 
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scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 05. Dez 2014 15:45    Titel: Konzentration von Uran in Räumen? Antworten mit Zitat

Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Fragestellung bzgl. Radioaktivität und Zerfällen:

Der Keller (400 cbm) der Familie Müller wurde einige Tage nicht gelüftet. Es wird eine spezifische Aktivität A für Rn-222 von 100 Bq/cbm gemessen.
Wie groß ist die Konzentration des U-238 im Beton, wenn die effektive Dicke, aus der das Rn-222 heraus diffundiert 1,5cm beträgt?


Als Hinweis sind folgende Halbwertszeiten gegeben:
U-238: 4,5 Mrd. Jahre
Th-234; 24,1 Tage
Pa-234: 6,66 Stunden
U-234: 250000 Jahre
Th-230: 75000 Jahre
Ra-226: 1600 Jahre
Rn-222: 3,8 Tage

Ich weiß, dass dem Radioaktiven Zerfall ein e-Gesetz zugrunde liegt. Leider fehlt mir aber die Aktivität des Urans, weswegen ich nicht weiter komme.

Könnt ihr mir einen Denkanstoß geben, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

Danke und Grüße
scaer
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Dez 2014 16:11    Titel: Re: Konzentration von Uran in Räumen? Antworten mit Zitat

scaer93 hat Folgendes geschrieben:
Leider fehlt mir aber die Aktivität des Urans, weswegen ich nicht weiter komme.

Die sollst Du ja im wesentlichen rausfinden smile

-> Zusammenhang zwischen Aktivität und Halbwertszeit.
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 05. Dez 2014 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

naja, zwischen Aktivität und Halbwertszeit besteht der Zusammenhang:



und somit gilt:



damit kann ich aber doch nur bezüglich Rn-222 etwas ausrechnen?

Von Uran habe ich ja nichts, außer die Halbwertszeit. Auch keine Anfangsteilchenzahl.
Oder gilt die Rn-Aktivität auch für das gefragte Uran?

Außerdem ist die Frage, was mit Konzentration gemeint ist? Uran-Teilchen pro Volumen?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 05. Dez 2014 20:20    Titel: Re: Konzentration von Uran in Räumen? Antworten mit Zitat

Guten Abend!
scaer93 hat Folgendes geschrieben:
ich habe ein Problem mit einer Fragestellung

Das geht mir leider genauso. Zwischen dem erwähnten Rn222 (Herkunft Ra226) als Alphastrahler und dem erfragten U238 liegt eine längere Zerfallskette (die dann mit Po218, Pb214 usw. lustig weitergeht), und ob und wie sich in welchen Gesteinen dort welche Gleichgewichte eingestellt haben könnten - das überblicke ich nicht.
Was man mit gutem Willen vielleicht rauskriegt, wäre das Ra226...
grübelnd
Zum Nachlesen erstmal was, speziell S. 61ff.
Und für Details eine Nuklidtabelle.
f.


Zuletzt bearbeitet von franz am 06. Dez 2014 09:11, insgesamt einmal bearbeitet
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 09:05    Titel: Antworten mit Zitat

Genau, diese Nuklidkarte ist wohl die Grundlage des Ganzen. Und genau das Problem mit den Gleichgewichten sorgt für mich zur Unlösbarkeit der Aufgabe.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 09:20    Titel: Antworten mit Zitat

Nimm an die Urankonzentration ändert so gut wie nicht durch seine Zerfälle (was vermutlich eine gute Näherung ist, da es eine sehr lange Halbwertszeit hat). Es zerfällt zu Thorium, das wiederum mit einer gewissen Halbwertszeit weiterzerfaellt. Was ist dann die Gleichgewichtszahl an Thoriumatomen?

und dann weiter die Zerfallskette runter:
http://en.wikipedia.org/wiki/Decay_chain#Uranium_series
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 09:39    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, dass mit dem Uran und der konstanten Konzentration verstehe ich. Aber wie kann ich dann vom Uran ausgehende über Thorium bis zum Rn-222 die Gleichgewichtszahl an Thorium und den weiteren Atomen bestimmen?

Mit der Effektiven Dicke ergibt sich dann ja eigentlich ein höheres Volumen, da von Wände, Decke und Böden 1,5cm noch zum Raum dazu gehören. Bildlich gesprochen bzgl. der Radioaktivität:
(10+1,5)*(10+1,5)*(4+1,5)cbm = 727,375 cbm

Also ergibt sich für die Rn-222 Aktivität:



das ergibt eine Anzahl von Rn-Atomen von:



Abr nun weiß ich nicht weiter, wie ich an das Uran komme...
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. Dez 2014 09:42    Titel: Antworten mit Zitat

OT
Es würde mich sehr freuen, wenn Du diesen Knoten "entwickelt" kriegst, jh!
[Ich hatte schon beim Stichwort "Beton" die Segel gestrichen, das klingt wie Kartoffelsuppe.] f.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 10:51    Titel: Antworten mit Zitat

Wie lautet denn die DGL für die Anzahl der Rn-Atome? Welche Bedingung gilt im Gleichgewicht?
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 10:54    Titel: Antworten mit Zitat

Genau hier liegt das Problem. Ich weiß es nicht.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 10:57    Titel: Antworten mit Zitat

Na ja.. DGL eines radioaktiven Zerfalls, sollten wir hier doch irgendwie hinkriegen smile
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:18    Titel: Antworten mit Zitat

du meinst:



Dann müsste ich aber bzgl. Uran bis Rn 6 gekoppelte DGL'n lösen.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:25    Titel: Antworten mit Zitat

Richtig, aber jede der DGL hat auf der rechten Seite zwei Terme (eigener Zerfall und Entstehung durch den Zerfall des Mutterkerns).

Die DGLs zu lösen ist nicht so schwer. Aber es geht hier sogar einfacher, da Du nur am Gleichgewichtszustand interessiert bist.
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, aber was ist dieser Gleichgewichtszustand. Das ist mir ja leider nicht klar.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:40    Titel: Antworten mit Zitat

Was gilt denn für N(t) im Gleichgewichtszustand?
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:42    Titel: Antworten mit Zitat

Das weiß ich ja leider nicht. Zu Gleichgewichten haben wir nichts gemacht.

Intuitiv würde ich auf konstant setzten bzw. gleich der Teilchenzahl der Uran-Atome
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:43    Titel: Antworten mit Zitat

scaer93 hat Folgendes geschrieben:


Intuitiv würde ich auf konstant setzten bzw. gleich der Teilchenzahl der Uran-Atome

Das ist doch schonmal gut... d.h. für die DGL?

Und dann hast Du eine Reihe linearer Gleichungen in den Teilchenzahlen der verschiedenen Isotope und die kannst DU lösen.
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 11:56    Titel: Antworten mit Zitat

Die DGL in der Grundform lautet dann aber wie?



Und wenn nun N(t) = const., dann ist die dN/dt = 0

Also habe ich dann folgendes System, oder wie?:













Problem ist, es ist jetzt ja keine wirkliche DGL mehr, da keine Ableitung da ist.

Zum "Lösen" könnte ich ja nun von unten nach oben umstellen und dann in die nächste einsetzten. Am Ende ergibt sich dann eine Gleichung, oder? Lösung sollte aber doch eine Summe aus e-Funktionen sein?

Was mache ich dann aber mit den e-Funktionen?

Die Lambdas sind bekannt, da ich die Halbwertszeiten kenne. Problem sind die Teilchenzaheln N_i , die ich nicht kenne. Selbst mit N=A*\lambda fehlt mir dann die Aktivität jedes einzelnen Nuklids.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 06. Dez 2014 14:22    Titel: Antworten mit Zitat

Im Gleichgewicht ist das keine DGL mehr, sondern einfach ein lineares Gleichungssystem das Du nach den Gleichgewichtswerten für die N's lösen kannst.
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 06. Dez 2014 15:20    Titel: Antworten mit Zitat

Gut, ok. Das habe ich nicht gesehen.

Die Lösung ist dann folgendes (1) :




Mit



als "Effektiven Volumen" ergibt sich für die Rn-222 Aktivität (2) :



Dieses Effektive Volumen stammt daraus, dass der Raum 10m*10m*4m groß ist. Wenn Rn aus Wände, Decken und Boden aus einer Tiefe von 1,5cm diffundiert, dachte ich, dass gilt: (10+0,015)m*(10+0,015)m*(4+0,015)m


Mit (2) ergibt das eine Anzahl Rn-Atomen von:




Daraus folgt mit (1) umgestellt und ln(2) gekürzt:



Wand-Volumen: 6*(10*4*1,5)cbm = 360cbm

Daraus folgt die Konzentration "c" in den Wänden von:




Stimmt die Rechnung so?
Oder gehen die 1,5cm erst im letzten Schritt bei der Konzentration ein? Müsste ich also in (2) bei der Aktivität noch mit 400 cbm rechnen? Es steht ja nicht, ob das Messverfahren auch das Wandinnere mit einbezieht oder nur den leeren Raum an sich.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 07. Dez 2014 22:38    Titel: Antworten mit Zitat

Gemessen wird vermutlich nur im Raum selber und nicht in der Wand, aber der Unterschied ist vernachlaessigbar...
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 08. Dez 2014 03:16    Titel: Antworten mit Zitat

Moin,

und danke für die rechnerische Lösung der Frage!

Trotzdem steht meines Erachtens eine Begründung für die Annahme dieses weitreichenden Gleichgewichtes noch aus, selbst für uralte / ungestörte Gesteine. Ein extra Thema vermutlich. mfG
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 08. Dez 2014 09:52    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:

Trotzdem steht meines Erachtens eine Begründung für die Annahme dieses weitreichenden Gleichgewichtes noch aus, selbst für uralte / ungestörte Gesteine. Ein extra Thema vermutlich. mfG

Die Begründung kann man leicht geben, wenn man sich die Halbwertszeiten der Zwischenprodukte anguckt... mit ein paar einfachen weiteren Annahmen ..
scaer93



Anmeldungsdatum: 08.12.2012
Beiträge: 137

Beitrag scaer93 Verfasst am: 08. Dez 2014 09:58    Titel: Antworten mit Zitat

Naja, die Halbwertszeit des Urans ist wie schonfestgestellt sehr viel größer als bei den anderen Tochterkernen.
Außerdem wurde der Raum nicht gelüftet, also ist der Keller ein abgeschlossenes System. Dies bleibt auch der Fall, wenn man zum messen hinein geht, da die Störung kurz ist im Vergleich zur Zeit, in der nicht gelüftet wurde.

Das wäre meine Begründung, weswegen es möglich ist die Annahme des Gleichgewichts zu machen etc.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 08. Dez 2014 12:01    Titel: Antworten mit Zitat

Guten Morgen! smile

Von der Annahme eines durchgehenden Gleichgewichts bin ich nicht so 1.000 %ig überzeugt. Wir haben es kaum mit "Uran" in Original-Verpackung zu tun, sondern mit mineralischen Stoffen unklarer Herkunft und Zusammensetzung (Beton), mit einer auch sonst kunterbunten radioaktiven Umgebung (s.o.), die angesprochene Zerfalls"kette" ist in Wirklicheit ein "Netz", wo die HWZen zwischen paar Stunden und Jahrhunderttausenden variieren. Sowas kann man meines Erachtens nicht nach Gefühl und Kellerlüftung klären - wenn überhaupt.

Positiv gesagt: Ein neues, eigenständiges Thema.

Bezüglich der Aufgabe würde ich deshalb einfach trennen: Unter den und den Voraussetzungen ergibt sich das und jenes - fedich. f.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8228

Beitrag jh8979 Verfasst am: 08. Dez 2014 17:25    Titel: Antworten mit Zitat

franz hat Folgendes geschrieben:

Von der Annahme eines durchgehenden Gleichgewichts bin ich nicht so 1.000 %ig überzeugt. Wir haben es kaum mit "Uran" in Original-Verpackung zu tun, sondern mit mineralischen Stoffen unklarer Herkunft und Zusammensetzung (Beton), mit einer auch sonst kunterbunten radioaktiven Umgebung (s.o.), die angesprochene Zerfalls"kette" ist in Wirklicheit ein "Netz", wo die HWZen zwischen paar Stunden und Jahrhunderttausenden variieren. Sowas kann man meines Erachtens nicht nach Gefühl und Kellerlüftung klären - wenn überhaupt.

Die erste Voraussetzung ist natürlich dass nur diese eine Prozess beiträgt.

Die zweite wäre, dass das Uran älter ist als vermutlich ein paar (vllt paar hundert) Millionen Jahre, da die Halbwertszeiten der Tochterkerne alle deutlich unter einer Million Jahre liegen (die meisten sehr weit drunter).

Um es besser Abzuschätzen müsste man die DGLs lösen (was nicht so schwer ist) und dann gucken wie schnell sich ein Gleichgewicht einstellt, aber rein Groessenordnungsmaessig sollten dass nur ein paar Halbwertszeiten des langlebigsten Tochteratoms sein.
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