Ausgangsspannung bestimmen

WinterschlafIstSchlechter · Gast

Hallo, kann mir jemand eventuell erklären wieso folgendes gilt:

Gegeben sei folgendes zeitinvariantes, lineares Netzwerkmodell:

L+(R1//R2+C)

Dieses NWM wird von einer Eingangsspannung gespeist, nämlich v(t)=e(t). Die Ausgangsspannung sei die an der Induktivität, nämlich U_L(t)=a(t).

Im ersten Aufgabenteil a sollte ich den Frequenzgang U_L/V bestimmen. Das habe ich geschafft mithilfe dem Spannungsteiler.

In Aufgabenteil b sollte ich mithilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe a a(t) bestimmen mit der Eingangsspannung v(t)=V1cos(w0t+phi). Daraufhin soll ich a(t) als reelle Kosinusfunktion mit einem reelen Phasenwinkel darstellen, wobei gelten soll

(2w0)^2 LC(R1+R2)<R1

Nun wird in der Lösung folgendes berechnet. Der Frequenzgang aus Aufgabenteil a wurde ja in folgender Darstellung gegeben: H(jw)=P(jw)/Q(jw)

Zunächst wird die Differenz vom Phasenwinkel P - Phasenwinkel Q berechnet. Wieso ist das so ?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7242

Weil sowohl P als auch Q letztendlich komplexe Zahlen sind, die ja aus Betrag

und Phase

bestehen:

.

Und wenn man diese beiden komplexen Zahlen dividiert, subtrahieren sich eben die Phasen.

Viele Grüße
Steffen

WinterschlafIstSchlechter · Gast

Aber wieso genau bringt mich das richtung Lösung genau?

Ich weiss das folgende Beziehung gilt:

u_L( t)/v(t)=a(t)/e(t)

Komplex ausgedrückt: U/V=P(jw)/Q(jw)=H(jw), wobei P und Q die jeweiligen Polynomfunktionen der jeweiligen zusammengefassten Impedanzen darstellt.

Nun wird P(jw)/Q(jw) zusammengefasst und in der eulerschen Form dargestellt. Wobei folgendes gilt

g(w)*e^(j(Phasenwinkel P - Phasenwinkel Q). g(w) ist der Betrag von P(jw)/Q(jw).

Das Ergebnis lautet nun einfach a(t)=V1*g(w0)*cos(wot+Phi1+Phi_H(w0))

Wobei Phi_H(w0) die Phasendifferenz Phasenwinkel P - Phasenwinkel Q darstellt.

Wieso werden einfach bei v(t)=V1cos(w0t+phi) neue Werte dazugeschrieben wie zb. g(w0) und Phi_H(w0) ? Kann das jemand etwas deutlich erklären. Würde mich sehr freuen.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7242

Das ist ja das Angenehme einer Übertragungsfunktion. Sie liefert Dir, abhängig von der Frequenz, einen Betrag r und eine Phase phi. Wenn Du nun eine sinusförmige Eingangsspannung dieser Frequenz anlegst, wirst Du am Ausgang ebenfalls eine sinusförmige Spannung messen. Deren Amplitude ergibt sich als Produkt von r mal Eingangsamplitude, deren Phase aus phi plus Eingangsphase.

Viele Grüße
Steffen

WinterschlafIstSchlechter · Gast

,,Deren Amplitude ergibt sich als Produkt von r mal Eingangsamplitude, deren Phase aus phi plus Eingangsphase."

Danke das hat mir sehr geholfen. Aber woher diese Beziehungen das Phasen addiert werden und der Betrag einfach zur Eingangsspannung multipliziert wird? Werden da irgendwelche Additinstheoreme angewendet oder wieso ist das so? Ich verstehe nicht woher dieses zusammenfassen herkommt.

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7242

Das ist einfach komplexe Rechnung.

Du kannst eine Sinusspannung ja als einen rotierenden komplexen Zeiger betrachten. Die Amplitude

der Spannung ist dann der Betrag des Zeigers:

Der Zeiger rotiert, weil sich ja t mit der Zeit erhöht, und damit auch der Winkel des Zeigers.

Und wenn Du diese Sinusspannung zum Beispiel in einen Verstärker steckst, wird der Dir die Amplitude um einen bestimmten Faktor verstärken. Diesen Faktor nennen wir mal

.

Außerdem wird die verstärkte Sinusspannung am Ausgang in der Regel nicht dieselbe Phase haben wie die am Eingang. Diese Phasendifferenz nennen wir

.

So kann man nun eine komplexe Zahl

bilden, die diese beiden Effekte beinhaltet.

Und das Schöne ist jetzt, dass wir nun einfach den komplexen Spannungszeiger mit dieser Zahl multiplizieren können, um sofort die Ausgangsspannung zu erhalten:

Viele Grüße
Steffen

WinterschlafIstSchlechter · Gast

Hab es verstanden. Auf Wiki steht es nochmal unter ,,Frequenzgang". Danke sehr!

WinterschlafIstSchlechter · Gast

Noch eine letzte Frage. grübelnd

Unter Frequenzgang bei Wiki meint der Auto mit Amplituden-Frequenzgang und Phasen-Frequenzgang einfach den Amplitudengang und Phasengang oder? Der Amplitudengang wäre der Betrag des Frequenzganges und der Phasengang der zuberechnende Phasenwinkel des Frequenzgangs (Komplexe Wechselstromrechnung).

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7242

Ja, das sind Synonyme.

Viele Grüße
Steffen