Vier gleichgroße Massen ziehen sich an

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

Hey Leute!

Mein Problem steht ja quasi schon oben.

Also ich suche die Beschleunigung die vier gleichgroße Massen habe, wenn sie sich, zu einem exakten Quadrat angeordnet, so umkreisen, dass sich die Anziehungskräfte und die Fliehkräfte aufheben. Ach ja, der Abstand der Massenmittelpunkte zweiter benachbarter Massen sei a.

Mein Gedankengang: Wenn man sich jetzt die Masse m_1 anschaut hat diese ja zu der gegenüberliegenden Masse m_3 den Abstand aWurzel(2). Eingesetzt in das allgemeine Gravitationsgesetzt, erhält man F_g = m_1m_3/(2a^2) * G.

Jetzt gibt es aber noch eine weitere Kraft: links und rechts von m_1 liegen ja, wenn man jetzt mit der Uhr zählt, m_4 (links) und m_2 (rechts.) Auch diese üben ja eine Kraft auf m_1 aus. Aber jetzt ergibt sich ja folgende Situation: Durch die Attraktion von m_2 auf m_1 und von m_4 auf m_1 bildet sich ja ein Kräfteparallelogramm. Dann ist es ja so gesehen richtig, dass es eine Kraftkomponente nach links, jetzt bei m_2 auf m_1, und eine Kraft nach unten gibt. Dazu muss man ja die Anziehungskraft, indem man sich wieder das allgemeine Gravitationsgesetz zur Hand nimmt, mit dem Cosiuns aus 45° multiplizieren, und erhält somit die Kraftkomponente sowohl nach links, als auch nach unten (denn man hat jetzt ein Quadrat und sin(45°) = cos(45°)). Aber das gleiche gilt ja auch für die Kraft von m_4 auf m_1, nur dass man jetzt cos(45°) mal die Kraft von m_4 auf m_1 für die Kraftkomponente nach rechts und nach unten hat. Daran kann man sehen, dass sich die Krafte nach links und nach rechts aufheben, aber die Kraft nach unten verdoppelt wird.

Dann nur noch alle Kräfte zusammenrechnen und man erhält die Gesamtkraft. Kraft/Masse = Beschleunigung und man erhält die Beschleunigung von m_1. Aber da es ein komplett homogenes System ist, müsste es ja mit den anderen Massen ebenso funktionieren.

Ist das so wie ich mir das Gedacht habe, richtig, oder ist das wegen dem Schwerpunkt, welcher ja, weil alle 4 Massen identisch sind, genau den Mittelpunkt des Quadrates bildet, noch etwas anders?

Quetzalcoatl

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Auf jede der drei Massen wirken die Gravitationskräfte der drei anderen Massen. Da alle Kräfte Anziehungskräfte sind, heben sich keine Komponenten auf. Die Gesamtkraft auf jede Masse wirkt in Richtung Mittelpunkt des Quadrats (Schnittpunkt der Diagonalen) und ist vom Betrage

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

@GvC: Nein, mit aufheben meinte ich jetzt, dass du ja bei den Kräften nach links und nach rechts den gleichen Betrag jeweils hast. Wenn jetzt die Massen mit ihrer nötigen Geschwindigkeit v um den Schwerpunkt kreisen, ist ja der Abstand a zu zwei benachbarten Massen immer konstant aufgrund der gleichen Geschwindigkeiten.
Und da m_1 genauso stark nach links wie nach rechts gezogen wird, verschiebt sich die Position von m_1 nicht nach links oder nach rechts, das meinte ich damit.

Aber ist mein Gedankengang ansonsten korrekt? :/

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Quetzalcoatl · Anmeldungsdatum: 16.09.2014 Beiträge: 29

@GvC: Dann war mein Gedankengang also doch völlig richtig, danke! smile