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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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 Winter4ever Verfasst am: 06. Sep 2014 15:46 Titel: Flug einer Rakete mit Luftwiderstand |
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Meine Frage:
Für ein Versuch suche ich nach einer Möglichkeit, die Flughöhe rechnerisch zu berechnen. Daher muss ich auch den Luftwiderstand beachten.
Bekannte Informationen:
v(0)= 46.5 m/s
ungefähre Querschnittsfläche= 6.24×10^-3 m^2
Masse= 0.08 kg
Das müsste auch schon alles sein. Oder fehlt noch etwas?
Meine Ideen:
Ohne Luftwiderstand hatte ich keine Probleme. Die Rakete würde in diesem Fall 115 m Höhe erreichen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2014 16:40 Titel: |
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Senkrechter Aufstieg?
Gleichmäßiger Ausstoß?
Brenndauer?
Endmasse?
Woher sind die 115 m bekannt? |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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| Winter4ever Verfasst am: 06. Sep 2014 16:48 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Senkrechter Aufstieg? Ja
Gleichmäßiger Ausstoß? Ich glaube schon
Brenndauer? 0.2s
Endmasse? Die ist 0.08 kg. Zu Beginn sind es 0.58 kg
Woher sind die 115 m bekannt? |
Zu den 115 m habe ich Ausströmgeschwindigkeit ausgerechnet(=24.5m/s), dann Höchstgeschwindigkeit(=46.5km), anschliessend Brenndauer(=0.2s), dann die Beschleunigungsstrecke(=4.65m) und zum Schluss die Flughöhe(=115m). |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 06. Sep 2014 16:54 Titel: |
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| Winter4ever hat Folgendes geschrieben: |
Zu den 115 m habe ich Ausströmgeschwindigkeit ausgerechnet(=24.5m/s), dann Höchstgeschwindigkeit(=46.5km), anschliessend Brenndauer(=0.2s), dann die Beschleunigungsstrecke(=4.65m) und zum Schluss die Flughöhe(=115m). |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2014 13:00 Titel: |
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Moin!
Ich habe mir erstmal die vereinfachte Theorie zur Raketenbewegung (ohne Reibung) angesehen*). Für das Verständnis Deiner Rechnung (Ist sie von Dir?) kannst Du mir vielleicht noch sagen, ob ich soweit richtig liege: Der Treibstoff ist Wasser, das durch Druckluft gleichmäßig (mit etwa gleichem Druck) rausgepreßt wird und damit eine konstante Austrittsgeschwindigkeit entwickelt. Der Querschnitt der Austrittsdüse usw. - alles bekannt. Damit kann man die Steighöhe berechnen - wobei das den Schulstoff schon leicht überschreitet.
Die Kräftegleichung für den Reibungsfall führt auf eine Differentialgleichung der Art v' + a(t) v² + b(t) + c = 0 ... Wolfram
mfG
*) Notiz zum senkrechten Raketenstart
Beginn  , Antrieb bis , Gipfel
Gleichmäßiger Masse-Ausstoß mit  , zum Beispiel mit Wasser, das mit Überdruck eine Düse vom Querschnitt passiert:
Durch den Impulssatz ergibt sich die Bewegungsgleichung für 
}\cdot \dot m - g \Rightarrow v(t)=v_A\ ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)-gt\Rightarrow)
=v_A \left[ t+\left( t -\frac{m_0}{m(t)}\right) \cdot ln\left( \frac{m_0}{m(t)}\right) \right] -\frac{1}{2}gt^2)
Mit  (oben) hat man damit  und  , von wo aus ein freier Anstieg bis  stattfindet
-gt_1)
-\frac{1}{2}gt_1^2\right])
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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xb
Gast
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| xb Verfasst am: 07. Sep 2014 17:39 Titel: |
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Hast du dir schon überlegt wie man den cw-Wert
der Flasche ermitteln könnte?
die Formel mit dem Luftwiderstand
müsste es doch hier im Forum irgendwo geben |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Sep 2014 18:46 Titel: |
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| xb hat Folgendes geschrieben: | Hast du dir schon überlegt wie man den cw-Wert der Flasche ermitteln könnte?
die Formel mit dem Luftwiderstand müsste es doch hier im Forum irgendwo geben |
Die c_W Werte samt Formel der Reibungskraft dürften hier wohl das kleinste Problem sein. :-)
http://de.wikipedia.org/wiki/Str%C3%B6mungswiderstand
Mein Vorschlag: a) Durchsicht der angegebenen Rechnung (reibungsfrei), b) Bewegungsgleichung mit Luftwiderstand und (angesichts der gringen numerischen Anforderungen) Versuch einer radikalen Vereinfachung / Abschätzung (nix gegen Wolfram). mfG |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 08:26 Titel: |
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In der Freiflugphase kann der Luftwiderstand ohne große Probleme analytisch berücksichtigt werden. Es gilt:
Das führt zu der Differentialgleichung
mit der Lösung
=t)
=\sqrt {\frac{g}{k}} \tan \left ( \arctan \sqrt {\frac {k}{g}}v_e -\sqrt {kg}t \right ))
Die Zeit  bis zur maximalen Flughöhe ergibt sich aus =0) . Die Flughöhe beträgt
dt)
Das Integral hat die Form
dx)
und ist mit Kennnis von
leicht zu lösen. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 08. Sep 2014 09:12 Titel: |
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Danke für die Unterstützung!
Bleiben also noch y_1 und v_1.
Ich greife inzwischen gern zu Wolfram. Und ob das Lösen entsprechender DGL für den Fragesteller "leicht" ist, kann nur er uns beantworten. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 09:24 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: |
Bleiben also noch y_1 und v_1. |
Damit meinst du vermutlich die Phase bis zum Brennschluss, der hier vielleicht besser Wasserschluss heißen sollte.  Für diese Phase ergibt sich mit Luftwiderstand eine DGL, die ich mir zwar noch nicht näher angesehen habe, die sich aber vermutlich nur numerisch lösen lässt. Da die Phase nur 0,2 s dauert, könnte man vermuten, dass der Einfluss des Luftwiderstandes in dieser Phase klein ist. Sicher bin ich mir da allerdings nicht. |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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| Winter4ever Verfasst am: 08. Sep 2014 10:29 Titel: |
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Wie das mit dem Integral geht, weiss ich leider noch nicht. Anders ist das wohl nicht möglich? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 10:45 Titel: |
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| Winter4ever hat Folgendes geschrieben: | | Wie das mit dem Integral geht, weiss ich leider noch nicht. |
Aus
folgt
 dx=\frac { \ln |\cos (a-bx)|}{b})
Für das bestimmte Integral musst du jetzt nur noch die Grenzen einsetzen. a und b sind aus der Lösung für v(t) bekannt.
| Zitat: | | Anders ist das wohl nicht möglich? |
Wenn du die exakte Lösung willst, nein. Sinnvolle Näherungen sehe ich nicht. Und jetzt, wo die Lösung dasteht, brauchst du doch nur die Zahlen einzusetzen. Wegen des geringen Gewichts der Rakete nach Brennschluss hat der Luftwiderstand einen großen Einfluss auf das Ergebnis. |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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| Winter4ever Verfasst am: 08. Sep 2014 10:59 Titel: |
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Wo kommen a und b schon vor? Die kann ich nirgends sehen. Und was ist d? |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 11:07 Titel: |
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| Winter4ever hat Folgendes geschrieben: | | Wo kommen a und b schon vor? Die kann ich nirgends sehen. |
Ein wenig Mitdenken deinerseits wäre nicht schlecht. Aus meiner Gleichung für v(t) ergibt sich doch klar:
d ist das Integrationssymbol. dx heißt, man soll über die Variable x integrieren. dt heißt, man soll über die Variable t integrieren.
Hast du noch keine Integralrechnung gehabt? |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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| Winter4ever Verfasst am: 08. Sep 2014 11:27 Titel: |
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| Zitat: |
Hast du noch keine Integralrechnung gehabt? |
Nein eben nicht. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 08. Sep 2014 11:32 Titel: |
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Stimmt Huggy, die "Brenn"phase scheint man vernachlässigen zu können*). Problematisch scheint mir inzwischen eher der Druckabfall zu sein, der ja auf die Geschwindigkeit durchschlägt, und, möglicherweise, der c_W Wert.
*) Ich glaube bei Wolfram eine Lösung gesehen zu haben; Spielerei. |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 14:01 Titel: |
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| Winter4ever hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
Hast du noch keine Integralrechnung gehabt? |
Nein eben nicht. |
Dann bist du mit diesem Problem hoffnungslos überfordert. Eigentlich kannst du nur Zahlen in eine dir gegebene Lösung einsetzen. Deshalb bringe ich die Lösung für die Freiflugphase jetzt zu Ende. Für die Zeit bis zur maximalen Flughöhe ergibt sich:
Das führt zu
 dt=-\sqrt {\frac {g}{k}}\frac {\ln \cos a}{b})
und jetzt musst du wirklich nur noch die Zahlen einsetzen. Zur Kontrolle: mit
und den übrigen Daten gemäß deiner Rechnung bin ich auf
gekommen. Dazu wäre noch die Steighöhe in der Beschleunigungsphase zu addieren. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 08. Sep 2014 14:44 Titel: |
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Für den Bastler liegt das Interesse vermutlich weniger bei den Differentialgleichungen als in handfesten Hinweisen zu einer optimalen Konstellation (Wasser, Flasche, Druck, Ventil, Kosten ... ), wo das Gerät seine maximale Höhe erreicht.
(Den entsprechenden Passus oben verstehe ich nicht ganz.) |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 08. Sep 2014 14:56 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Für den Bastler liegt das Interesse vermutlich weniger bei den Differentialgleichungen als in handfesten Hinweisen zu einer optimalen Konstellation (Wasser, Flasche, Druck, Ventil, Kosten ... ), wo das Gerät seine maximale Höhe erreicht. |
Klar!
Aber woher sollen diese Hinweise kommen, wenn nicht aus den möglichst exakten Lösungen der Gleichungen, zur Not auch aus rein numerischen Lösungen. Alles rein experimentell zu bestimmen kann lange dauern und ziemliche Kosten verursachen.
| Zitat: | | (Den entsprechenden Passus oben verstehe ich nicht ganz.) |
Welchen Passus meinst du? |
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Winter4ever
Anmeldungsdatum: 06.09.2014
Beiträge: 8
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| Winter4ever Verfasst am: 08. Sep 2014 16:23 Titel: |
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Besten Dank. Der Luftwiderstand bremst ja wahnsinnig ab. |
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Systemdynamiker
Anmeldungsdatum: 22.10.2008
Beiträge: 594
Wohnort: Flurlingen
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 08. Sep 2014 21:58 Titel: |
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Moin Huggy,
| Huggy hat Folgendes geschrieben: | | Aber woher sollen diese Hinweise kommen, wenn nicht aus den möglichst exakten Lösungen der Gleichungen, zur Not auch aus rein numerischen Lösungen. Alles rein experimentell zu bestimmen kann lange dauern und ziemliche Kosten verursachen.[...] Welchen Passus meinst du? |
Von Experimenten war nie die Rede, ganz im Gegenteil: Eher von einer "Aufstockung" der Theorie.
In dem schulphysikalischen Skript oben wird die Maximierung der Flughöhe angesprochen.
mfG |
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 09. Sep 2014 08:17 Titel: |
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@ franz
Mein Beitrag hat sich auf die Frage von Winter4ever beschränkt, wie man den Luftwiderstand in die vorliegende Rechnung einbringen kann. Das ist nicht als Einwand dagegen zu werten, darüber hinausgehende Beiträge zu bringen, z. B. im Sinne einer Höhenoptimierung. Wenn du oder jemand anders das machen will, dann begrüße ich das durchaus. |
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