Oberflächenintegral Kreiszylinder

Der_Suchende · Anmeldungsdatum: 31.07.2014 Beiträge: 5

Hallo Leute,

ich beschäftige mich gerade mit einem Kreiszylinder (Radius R, Höhe L) und soll folgendes geschlossenes Integral explizit berechnen:

Mir ist bewusst, dass es sich bei dem Integral um 3 Flächen handelt:
Boden-, Mantel- und Deckfläche.

Ich scheitere bereits an der Berechnung der Deckfläche.

Zunächst meine Parametrisierung der Deckfläche:

und

das Flächenelement

habe ich wie folgt bestimmt:

Weiterhin habe ich ausgerechnet:

Ich denke nicht, dass mein Ergebnis stimmt, denn schon die Einheiten sind falsch. Ich bin mir relativ sicher, dass mein Oberflächenelement richtig ist.
Ich vermute der Fehler liegt in dem Skalarprodukt

, doch sehe ich den Fehler momentan nicht.

Danke für eure Hilfe!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

index_razor · Anmeldungsdatum: 14.08.2014 Beiträge: 3259

Der Fehler liegt nicht im Skalarprodukt, sondern in deiner Annahme es würde sich bei dem Integral

Der_Suchende · Anmeldungsdatum: 31.07.2014 Beiträge: 5

Erstmal danke für eure Hilfe.

Natürlich stimmt das Oberflächenelement nicht. Es lautet natürlich:

Mit diesem habe ich im übrigen auch gerechnet.

Ich habe jetzt nochmal geschaut und es handelt sich um genau dieses geschlossene Integral:

@index_razor

Du sagst mein Ergebnis stimmt. Demnach müsste ich noch die Bodenfläche und den Mantel berechnen und die Integrale aufsummieren.

Für die Bodenfläche erhalte ich null, da der Faktor in

null ist. Ich habe das selbe Flächenelement genutzt nur, dass es in

zeigt.

Die Mantelfläche habe ich wie folgt errechnet:

Das Integral für den Mantel lautet also:

Macht in der Summe also

Mein Ergbenis soll nun in der nächsten Aufgabe mit dem Satz von Gauß überprüft werden. Ich habe dazu das Folgende:

mit:

komme ich auf:

Ich erhalte also das gleiche. Stimmen meine Rechnungen also?