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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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 quiddi Verfasst am: 10. Mai 2012 19:37 Titel: Oberflächenintegral |
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Hallo es geht um Oberflächenintegrale. Ich habe es auf 2 verschiedene Wege gerechent und erhalte unterschiedliche Ergebnisse. Es wäre nett wenn mir einer sagen könnte was ich falsch mache.
Also ich habe das Vektorfeld gegeben
) und ich soll das Oberflächenintegral über eine Halbkugel berechnen.
Das Integral sieht ja so aus: d\vec{A})
Als erstes berechne ich  .
Lösung Nr.1:
\vec{e_r}-sin(\Theta )\vec{e_\Theta })
mitd \phi \ d \Theta ) ergibt sich für das Integral:
sin(\Theta)d \Theta \ d\phi=\int_{\Theta=0}^{\frac{\Pi}{2}} 2\Pi cos(\Theta)sin(\Theta)d\Theta=\left [ -\Pi cos^2(\Theta)\right |_0^{\frac{\Pi}{2}}=\Pi)
Lösung Nr.2:
Ich habe wieder, ich habe einen Normalenvektor für das Integral von: )
Jetzt gilt ja: \frac{1}{r}r^2sin(\Theta)cos(\Theta)d\phi d\Theta=\int_{\Theta=0}^{\frac{\Pi}{2}} \int_{\phi=0}^{2\Pi}\frac{1}{r}z*r^2sin(\Theta)cos(\Theta)d\phi d\Theta)
mit ) ergibt sich:
sin(\Theta)d\phi d\Theta=2\Pi \int_{\Theta=0}^{\frac{\Pi}{2}}r^2cos^2(\Theta)sin(\Theta) d\Theta=\frac{2}{3}\Pi r^2)
Was mach ich jetzt falsch? Kann ja nicht sein, dass ich 2 verschiedene Ergebnisse rausbekomme. Kann es überhaupt sein, dass das Integral unabhängig von r ist, so wie in Fall 1?
Danke für eure Hilfe.
Gruß
Christian |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Mai 2012 20:17 Titel: |
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Welche Halbkugel? |
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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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| quiddi Verfasst am: 10. Mai 2012 20:37 Titel: |
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Die Halbkugel von z=0 bis z=R, mit der ganz allgemeinen Kugelgleichung:  |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Mai 2012 21:15 Titel: |
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Spontan: Gauß  dV)
Macht doch einen christlichen Eindruck? Halbkreisscheiben senkrecht zur x - Achse und so... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2012 21:32 Titel: |
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Nein, Stokes:
 = \oint_{\partial A}d\vec{r}\;\vec{F})
Das Integral der Rotation von F über eine Fläche A entspricht dem Kurvenintegral über F entlang der Berandung von A.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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quiddi
Anmeldungsdatum: 10.05.2012
Beiträge: 34
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| quiddi Verfasst am: 10. Mai 2012 21:46 Titel: |
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es soll ja auch Stokes gezeigt werden, an dem praktischen Bsp. mit Methode 1 komme ich mit dem Linienintegral auch wider auf  mit dem anderen weiß ich nicht genau wie es mit der Parametrisierung geht. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Mai 2012 22:05 Titel: |
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Welchen "Rand" hat die Oberfläche eines Körpers / Halbkugel?
| Zitat: | | das Oberflächenintegral über eine Halbkugel |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2012 22:24 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Welchen "Rand" hat die Oberfläche eines Körpers / Halbkugel? |
Der Rand einer Halbkugelfläche ist eine Kreislinie. Der Rand einer Kugelfläche ist Null. Der Rand eines Körpers ist seine Oberfläche. Der Rand einer Halbkugel (ein Körper!) ist demnach ist die halbe Kugelfläche + die Kreisfläche.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Mai 2012 22:41 Titel: |
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In einem anderen Forum schreibt unser Fagesteller expressis verbis von | Zitat: | | geschlossene Oberflächenintegral |
Mir eigentlich egal, nur wäre eine Präzisierung der Frage nicht verkehrt: Ist gemeint die entsprechende Halbkugelfläche (mit Kreisrand ... Stokes) oder die geschlossene Oberfläche der Halbkugel (sprich Gauß)? Ein himmelweiter Unterschied.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18113
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| TomS Verfasst am: 10. Mai 2012 22:50 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Ist gemeint die entsprechende Halbkugelfläche (mit Kreisrand ... Stokes) oder die geschlossene Oberfläche der Halbkugel (sprich Gauß)? |
Auch für die geschlossene Kugeloberfläche mit Rotation ist Stokes zu benutzen, wobei aufgrund des verschwindenden Randes Null folgt. Gauß ist ein Spezialfall für dreidimensionale Körper mit Divergenz, was als Rand auf die Oberfläche des Körpers führt.
Für Differentialformen gilt allgemein der Satz von Stokes
In zwei Spezialfällen folgt Null:
1) omega ist geschlossen:
2) der Rand ist Null:
Daraus folgen die beiden Spezialfälle
Gauß: M ist 3-dimensional, d entspricht der Divergenz, der Rand von M entspricht der Oberfläche
Stokes: M ist 2-dimensional, d entspricht der Rotation, der Rand von M entspricht der Linie die die Oberfläche berandet.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 10. Mai 2012 23:05 Titel: |
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Danke für die verallgemeinerte Darstellung! Die Sätze kannte ich bisher nur in der klassischen Form.
Ansonsten harre ich der Antwort des TE. |
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TE
Gast
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| TE Verfasst am: 11. Mai 2012 11:32 Titel: |
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Da der Rotor sehr einfach ist kann man sofort
\cdot \vec{n}=cos(\Theta ))
hinschreiben
r^2 bleibt natürlich erhalten
Man kommt dann auf
sin(\Theta)d\phi d\Theta=\pi r^2 )
Ich hoffe da war kein anderes Forum schneller |
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